第10讲 平面向量的应用 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第10讲 平面向量的应用 知识点1 向量在平面几何中的应用 1．用向量法解决平面几何问题 用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向： （1）几何法：选取适当的基底（尽量用已知模或夹角的向量作为基底），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算； （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法． 2．向量在平面几何中常见的应用 已知． 证明线段平行、点共线问题及相似问题 常用向量共线的条件： ． 证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等 常用向量垂直的条件： （其中为非零向量）． 求夹角问题，若向量与的夹角为 利用夹角公式： （其中为非零向量）． 求线段的长度或说明线段相等 可以用向量的模： ，或（其中两点的坐标分别为． 对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题． 3．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 知识点2 向量在物理中的应用 向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 考点一 向量在平面几何证明问题中的应用 解题方略： 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题． (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题．　　　　 （一）用向量证明线段垂直问题 【例1】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 【证明】法一：设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0，又＝＋＝－a＋b， ＝＋＝b＋a， 所以·＝· ＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. （二）用向量证明线段平行问题 【例2】如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：． 证明：由题意，，，∴． 设，则． 同理． 于是． ∴，∴． （三）用向量解决夹角问题 【例3】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值． 【解析】如图所示，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴，y轴建立直角坐标系． 设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，从而可求＝(－2a，a)，＝(a，－2a)．不妨设，的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－. 故所求钝角的余弦值为－. 变式1：直径所对的圆周角为直角. 证明：如图，设圆心为，圆半径为，是圆的一条直径，点是圆上不同于，的一点，则是直径所对的圆周角. 由，，其中， 得. 则，即为直角. 所以直径所对的圆周角为直角. （四）用向量解决线段的长度问题 【例4】试用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于其各边平方的和． 【证明】如图所示，在▱OACB中，设＝a，＝b， 则＝a＋b，＝a－b. 由于2＝·＝(a＋b)·(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2， 2＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2， 所以OC2＋BA2＝2|a|2＋2|b|2. 由于OA＝BC＝|a|，OB＝AC＝|b|， 所以OC2＋BA2＝OA2＋BC2＋OB2＋AC2. 考点二 平面几何中的长度问题 解题方略： 利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ .　　　　 【例5】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 【解析】设＝a，＝b，则＝a－