第10练 平面向量的应用 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第10练 平面向量的应用 一．选择题 1．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（　　） A．10 m/s B．2m/s C．4m/s D．12 m/s 【解析】根据题意，设河水的流速为V1，则|V1|＝2m/s，小船的静水速度为V2，合速度为V，|V|＝10，且V⊥V1， 有V＝V1+V2，则V2＝V﹣V1， 则有|V2|2， 故选：B． 2．一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为，则两个力的合力的大小为（　　） A． B．0N C． D． 【解析】根据平行四边形定则，两个合力的大小为： F5N， 故选：C． 3．已知D是△ABC内部（不含边界）一点，若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，xy，则x+y＝（　　） A． B． C． D．1 【解析】根据题意，如图：设AD与BC交于点E，设BE＝xBC，则有x， 若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，则有S△BCD：S△ABC， 则DEAE，则有ADAE，即， 故S△ABDS△ABES△ABC， 又由S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，即S△ABD：S△ABC＝5：（5+4+3）＝5：12， 则有，解可得x，即， 故（）（）， 又由xy，则x，y，故x+y， 故选：A． 4．已知P是△ABC所在平面内的一动点，且，则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】根据题意，如图，设BC的中点为D， 则，则λ（）＝λ（）＝λ， 即点P在BC边的中线AD上， 则点P的轨迹一定通过△ABC的重心， 故选：C． 5．已知O为三角形ABC所在平面内一点，，则S△OBC：S△ABC＝（　　） A． B． C． D． 【解析】根据题意，O为三角形ABC所在平面内一点， 若，则O是△ABC的重心，如图： 设直线AO与BC交于点D，则有|AD|＝3|OD|， 设O到BC的距离为d，则A到BC的距离为3d， 故S△OBC：S△ABCd×|BC|：3d×|BC|＝1：3； 故选：B． 6．平面内△ABC及一点O满足，则点O是△ABC的（　　） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【解析】平面内△ABC及一点O满足，可得•0，所以O在∠CAB的平分线上， ，可得：•0，所以O在∠ACB的平分线上， 则点O是△ABC的内心． 故选：C． 7．在△ABC内使AP2+BP2+CP2的值最小的点P是△ABC的（　　） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【解析】令，，设，则，， 于是AP2+BP2+CP2＝32（）3[（）]2（）2． 所以当（）时，AP2+BP2+CP2最小， 此时（）， 则点P为△ABC的重心． 故选：D． 8．如图，扇形的半径为2，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧上运动，，则x﹣y的取值范围是（　　） A． B．[﹣1，2] C．[﹣2，4] D． 【解析】根据题意，以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系， 如图：P（2cosθ，2sinθ），0°≤θ≤150°， 则A（0，0），B（2，0），C（，1）， ， 则有（2cosθ，2sinθ）＝x（2，0）+y（，1）＝（xy，y） 变形可得：cosθ＝xy，sinθ； 则有x＝cosθsinθ，y＝2sinθ， x﹣ycosθ+3sinθ﹣2sinθcosθ+sinθ＝2sin（θ+60°）， 又由0°≤θ≤150°，则60°≤θ+60°≤210°， 则有﹣1x﹣y＝2sin（θ+60°）≤2， 故x﹣y的取值范围是[﹣1，2]； 故选：B． 9．已知向量，满足||，||＝1，且对任意实数x，不等式|x|≥||恒成立，设与的夹角为θ，则tan2θ＝（　　） A． B． C．﹣2 D．2 【解析】当，如图所示 （）时，对于任意实数x， 或， 斜边大于直角边恒成立， 不等式|x|≥||恒成立， ∵， 向量，满足||，||＝1 ∴tan，tanθ， ∴tan2θ2．故选：D． 10．若，，均为单位向量，且•，xy（x，y∈R），则x+y的最大值是（　　） A．2 B． C． D．1 【解析】∵，，均为单位向量， 且•，xy（x，y∈R）， ∴x2+y2﹣xy＝1， 设x+y＝t，y＝t﹣x，得：x2+（t﹣x）2﹣x（t﹣x）﹣1＝0， ∴3x2﹣3tx+