专题1.2 动点问题-2021-2022学年八年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题1.2 动点问题 1．如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）当为何值时，为等边三角形？ （2）当为何值时，为直角三角形？ 【解答】解：在中，，， ． ， ，， （1）当时，为等边三角形． 即． ． 当时，为等边三角形； （2）若为直角三角形， ①当时，， 即， ． ②当时，， 即， ． 即当或时，为直角三角形． 2．如图1，中，于，且． （1）试说明是等腰三角形； （2）如图2，已知，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为（秒，是否存在，使的一边与平行？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：设，则，， ， 在中，， ，即是等腰三角形； （2）解：由（1）知，，， ，而， ， 则，，，， 由题意知，，， 当时，， 即， ； 当时，， ， ， 的边与平行时，值为或4． 3．在中，，点在上，点在上，连接且． 计算发现 （1）若，，则　　，　　． 猜想验证 （2）当点在（点，除外）边上运动时（如图，且点在边上，猜想与的数量关系式，并证明你的猜想． 拓展思考 （3）①当点在（点，除外）边上运动时（如图，且点在边上，若，则　　． ②当点在（点，除外）边上运动时（如图，且点在边所在的直线上，若，则　　． 【解答】解：（1），，，， ，， ， ， ， 故答案为：；； （2）． 理由如下： 设，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①由（2）知，， ， 故答案为：； ②当点在的延长线上时，，此时，故点不可能在的延长线上， 分两种情况： 当点在线段上时，与①相同，； 当点在的延长线上时，如图2，在边上截取，连接，， ， ， 由①知，， ， ， ， ． 故答案为：或． 4．如图所示，已知中，厘米，、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度是1厘米秒，点的速度是2厘米秒，当点第一次到达点时，、同时停止运动． （1）、同时运动几秒后，、两点重合？ （2）、同时运动几秒后，可得等边三角形？ （3）、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果存在，请求出此时、运动的时间？ 【解答】解：（1）设点、运动秒后，、两点重合， ， 解得：； （2）设点、运动秒后，可得到等边三角形，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， 点、运动秒后，可得到等边三角形． （3）当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 由（1）知10秒时、两点重合，恰好在处， 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形， ，，， ， 解得：．故假设成立． 当点、在边上运动时，能得到以为底边的等腰，此时、运动的时间为秒． 5．如图1，点、分别是等边边、上的动点（端点除外），点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点． （1）求证：； （2）当点、分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 【解答】（1）证明：是等边三角形 ，， 又点、运动速度相同， ， 在与中， ， ； （2）解：点、在运动的过程中，不变． 理由：， ， ， （6分） （3）解：点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变．（7分） 理由：， ， ， ． 6．如图，在中，，，点在线段上运动不与、重合），连接，作，交线段于． （1）当时，　25　，　 　；点从向运动时，逐渐变　 　（填“大”或“小” ； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【解答】解：（1）， ， 逐渐变小； 故答案为：，，小； （2）当时，， 理由：， ， 又， ， ， 又， ， （3）当的度数为或时，的形状是等腰三角形， 理由：时， ， ， ，， ， 的形状是等腰三角形； 当的度数为时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 7．综合与实践： 问题情境： 已知在中，，，点为直线上的动点（不与点，重合），点在直线上，且，设． （1）如图1，若点在边上，当时，求和的度数； 拓广探索： （2）如图2，当点运动到点的左侧时，其他条件不变，试猜想和的数量关系，并说明理由； （3）当点运动点的右侧时，其他条件不变，请直接写出和的数量关系． 【解答】解：（1）． 在中，，， ， ． ， ． ， ． ． （2）．理由如下： 在中，， ． 在中，， ． ， ． ，，