第02讲 向量数量积-【核心考点突破】2021-2022学年高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版2019必修第二册)

第02讲 向量数量积 【必备知识】 向量数量积: 已知两个非零向量和,它们的夹角为,把数量叫做和的数量积,记作,即. 坐标表示:在平面直角坐标系下,给定非零向量,则. 夹角公式: 已知两个非零向量和,它们的夹角为,则.夹角公式是根据向量数量积的定义推出的. 坐标表示:设非零向量,则.注意的范围是,当时, 两向量的位置关系分别是同向共线,垂直,反向共线. 向量的投影: 向量在向量方向上的投影为,向量在向量方向上的投影为,其中 为向量的夹角。 根据向量投影的定义可以知道,向量在向量方向上的投影为,同理可得向量在向量方向上的投影为,可以简记为:在向量上的投影,就用数量积除以向量的模长, 在向量上的投影,就用数量积除以向量的模长. 投影向量: 对于向量和,向量在向量上的投影向量为,为向量方向上的单位向量. 对于向量和,向量在向量上的投影向量为,为向量方向上的单位向量. 【典例剖析】 题型一:定义法求向量数量积 1．已知向量满足，且 与 的夹角为30°，那么等于（       ） A．1 B． C．3 D．3 2．已知，，且，的夹角为60°，如果，那么m的值为（　　） A． B． C． D． 3．已知是单位向量，与的夹角是，且， 则=（       ） A． B． C． D． 4．已知等边的边长为3，若，则（       ） A． B． C． D． 类型二:坐标法求向量数量积 1．在中，若，且，点分别是的中点，则（       ） A． B． C．10 D．20 2．如图，梯形中，，，，，若点为边上的动点，则的最小值是（       ） A．1 B． C． D． 3．已知在边长为2的正三角形中，分别为边上的动点，且，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 4．已知△是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，且 ，则的值为（       ） A． B． C．1 D． 类型三:转化法求向量数量积 1．在中，，，为的中点，，则（       ） A． B． C． D． 2．在菱形ABCD中，，，，，，则（       ） A． B． C． D． 3．在中，已知，，P是边BC垂直平分线上的一点，则（       ） A． B． C． D．3 4．已知等边△的边长为，点，分别为，的中点，若，且，则（       ） A． B． C． D． 类型四:坐标法求向量夹角 1．已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 2．若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（            ） A． B． C． D． 3．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）． (1)若∥，求 的值； (2)若⊥（＋2），求实数k的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围． 4．已知． (1)若θ为2与的夹角，求θ的值； (2)若2与k垂直，求k的值． 类型五:数量积和模求向量夹角 1．已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，若，则与的夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，若不等式对任意实数恒成立，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，． (1)求的值； (2)用，表示； (3)求 的值． 类型六:坐标法求向量的模 1．已知向量，且，，则（       ） A．3 B． C． D． 2．已知向量，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 3．若向量，，，且，则的最小值为_________． 4．已知， （1）求； （2）设与的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求k的值. 类型七:转化法求向量的模 1．已知，，则(       ) A．2 B．4 C． D． 2．已知则=（       ） A．4 B． C．10 D．16 3．已知单位向量，满足，则（       ） A． B．5 C．2 D． 4．已知单位向量、满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 类型八:投影与投影向量 1．已知向量，满足，，在方向上的投影为，则（       ） A．6 B．9 C． D． 2．已知向量，若在的投影为，则（       ） A．169 B．13 C．196 D．14 3．已知向量，则在方向上的投影是（       ） A． B． C． D． 4．已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为（       ） A． B． C． D． 5．如图，在等边中，，向量在向量上的 投影向量为（       ） A． B． C． D． 【过关检测】 一、单选题 1．已知单位向