6.4.1平面几何中的向量方法-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）

6.4.1 平面几何中的向量方法 一、用向量解决平面几何问题的步骤： （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等等； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 二、利用向量证明平面几何的两种经典方法及步骤： 方法一、线性运算法 （1）选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； （2）利用基底表示相关向量； （3）利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； （4）把计算结果“翻译”为几何问题。 方法二、坐标运算法 （1）建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； （2）把相关向量坐标化； （3）用向量的坐标运算找到相应关系； （4）利用向量关系回答几何问题。 题型一 垂直关系的证明 非零向量垂直的充要条件的两种形式： （1）平面向量垂直的非坐标形式：a⊥b⇔ a·b＝0． （2）平面向量垂直的坐标形式：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0； 方法要点：将线线垂直转化为向量垂直，再转化为数量积为0进行计算。 【例1】如图所示，以两边，为边向外作正方形和，为的中点.求证：. 【变式1-1】如图，已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证： （1）； （2） 【变式1-2】已知P是正方形对角线上一点，且四边形PFCE为矩形．求证：且 题型二 向量的数量积问题 平面向量数量积的两种求法 （1）若已知向量的模和夹角时，则利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos<a，b>． 若未知向量的模和夹角时，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量积。 （2）若已知向量的坐标时，则利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a·b＝x1x2＋y1y2． 若未知向量的坐标时，如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标进行求解． 【例2】如图，已知是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( ) A．－ B． C． D． 【变式2-1】在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为( ) A．－15 B．－9 C．－6 D．0 【变式2-2】在中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则等于( ) A．16 B．12 C．8 D．－4 【变式2-3】如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·＝________． 【变式2-4】如图，为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·＝( ) A．1 B． C． D．－ 【变式2-5】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则＝(　　) A. B．－ C. D．－ 题型三 向量的夹角问题 求解两个非零向量之间的夹角的步骤 第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步：分别求出这两个向量的模； 第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角． 【例3】已知向量，.若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______． 【变式3-1】已知正方形，点在边上，且满足，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝___． 【变式3-2】已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为________． 【变式3-3】若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值等于( ) A． B．－ C． D．－ 题型四 求线段长度或证明线段相等 【例4】已知平面向量，的夹角为，且，．在中，，，为的中点，则的长等于（ ） A．2 B．4 C．6