6.2.3 向量的数乘运算-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

6.2 平面向量的运算 6.2.3 向量的数乘运算 问题导入 思考1：已知非零向量作出和.它们的长度和方向分别是怎样的？ 如图，.类比数的乘法，我们把记作，即.显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的3倍，即. 类似地，由图可知，.我们把记作，即.显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即. 新知探索 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1) (2)当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. 由(1)可知，当时，. 由(1)(2)可知，. 你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 零乘任何向量的结果为零向量； 乘任何向量得到这个向量的相反向量. 新知探索 思考2：如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？ 根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的. 设为实数，那么 你能证明这些运算律吗？ (1) (2) (3) 新知探索 证明(1) (2)(3)的证明略. 证：当或或时，上式显然成立. 当或或时，由向量数乘运算的定义，得： ， 所以. 当同号时，上式两边向量的方向与向量的方向相同； 当异号时，上式两边向量的方向与向量的方向相反. 新知探索 特别地，我们有： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有 . 例析 例5.计算： (1)；(2)(3) 解：(1)原式 (2)原式 (3)原式 例析 例6.如图，□的两条对角线相交于点，且，，用表示，，和. 解：在□中， 由平行四边形的两条对角线互相平分，得： 新知探索 思考3：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 可以发现，实数与向量的积与原向量共线. 事实上，对于向量，，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线. 反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有 新知探索 综上，我们有如下定理：(共线向量定理) 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使.也就是说，位于同一条直线上的向量可以由这条直线上的一个非零向量表示. 新知探索 辨析1：判断正误. 1.若向量与共线，则存在唯一的实数使. ( ) 2.若，则与共线. ( ) 3.若则. ( ) 4.. ( ) 答案：×，√，×，×. 例析 例7.如图，已知任意两个非零向量，试作，，猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 解：分别作向量，，，过点，作直线(如图).观察发现，不论向量怎样变化，点始终在直线上，猜想三点共线. 事实上，因为， ， 所以. 因此，，三点共线. 例析 例8.已知是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值. 解：由于不共线，易知向量为非零向量.由向量，共线，可知存在实数，使得，即. 由不共线，必有.否则，不妨设，则. 由两个向量共线的充要条件知，共线，与已知矛盾. 由解得 因此，当向量，共线时，. 练习 题型一：向量的线性运算 例1.化简： (1)(2) 解：(1)原式 (2)原式 练习 变1.(1)若向量，，则. (2)若，其中为已知向量，则向量. 答案：(1)；(2). 解：(1) (2)有题知， ∴∴. 练习 方法技巧： 向量线性运算的方法 (1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数； (2)向量也可以通过列方程求解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算. 练习 题型二：用已知向量表示其他向量 例2.如图，四边形是以，为邻边的平行四边形，已知，，对角线交于点，又，，试用向量表示，. 解：∵∴ ∴ ∵∴ ∴. 练习 变2.在中，已知是上的点，且，设，，试用和表示. 解：∵三点共线，且， ∴. ∴ . 练习 方法技巧： 用已知向量来表示另外一些向