专题1.5 概率与统计-回归分析、独立性检验-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题1.5 概率与统计-回归分析、独立性检验 （1）频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差，离散型随机变量的分布列与期望仍然是考查的热点，同时应注意和概率、平均数、分布列，期望，二项分布，正态分布等知识的结合，同时应注意独立性检验在实际生活中的应用． （2）求回归直线方程的一般步骤 ①作出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系． ②当两变量具有线性相关关系时，求回归系数，写出回归直线方程． ③根据方程进行估计． （3）独立性检验的一般步骤：①根据样本数据列出列联表； ②计算随机变量的观测值k，查下表确定临界值k0： ③如果，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”． 注意：①通常认为时，样本数据就没有充分的证据显示“X与Y有关系”． ②独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释． ③独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断． 1．下表是我国从2016年到2020年能源消费总量近似值y（单位：千万吨标准煤）的数据表格： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号x 1 2 3 4 5 能源消费总量近似值y（单位：千万吨标准煤） 442 456 472 488 498 以x为解释变量，y为预报变量，若以为回归方程，则相关指数，若以为回归方程，则相关指数. （1）判断与哪一个更适宜作为能源消费总量近似值y关于年份代号x的回归方程，并说明理由； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，求出y关于年份代号x的回归方程. 参考数据：，. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【试题来源】广东省2022届高三一轮复习质量检测 【答案】（1）更适宜作为y关于x的回归方程，答案见解析；（2）. 【分析】（1）利用相关指数的概念即得；（2）利用回归直线方程公式即求. 【解析】（1）因为，所以更适宜作为y关于x的回归方程. （2），. ，， 所以以x为解释变量，y为预报变量的回归方程为. 2．2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜､刘伯明､汤洪波名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛.该公司为了将型材料更好地投入商用，拟对型材料进行应用改造.根据市场调研与模拟，得到应用改造投入（亿元）与产品的直接收益（亿元）的数据统计如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 6 8 10 13 15 22 27 40 48 54 60 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为. 回归模型 模型① 模型② 79.13 20.2 （1）根据表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型，预测对型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益； （2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小. 附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好..用最小二乘法求线性回归方程的截距：. 【试题来源】陕西省西安市高新第一中学2021-2022学年高三上学期第八次大练习 【答案】（1），模型②拟合精度更高､更可靠，收益为；（2）投入17亿元比投入20亿元时收益小. 【分析】（1）根据题意求得，再根据的计算公式，即可分别求得，则可判断不同模型的拟合度；（2）根据题意，求得回归直线方程，即可代值计算，求得预测值. 【解析】（1）对于模型①，对应的， 故对应的，故对应的相关指数， 对于模型②，同理对应的相关指数， 故模型②拟合精度更高､更可靠. 故对型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为 . （2）当时，后五组的， 由最小二乘法可得， 故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为 ，故投入17亿元比投入20亿元时收益小. 3．如图