第10讲 构造中位线的常用辅助线-2021-2022学年八年级数学下册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）

第10讲 构造中位线的常用辅助线（原卷版） 第1部分 专题典例剖析及针对训练 类型一 连接第三边构造中位线 典例1 如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点． （1）求证：PM＝PN； （2）求∠MPN的度数． 针对训练1 1.如图，分别以△ABC的边AB，AC同时向外作等腰直角三角形，其中AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，点G为BC的中点，点F为BE的中点，点H为CD的中点．探索GF与GH的数量关系及位置关系，并说明理由． 2．如图，已知等边△ABC和等边△DBE，A、B、D三点在一条直线上，点M、N、O分别为CE、AD、AC的中点. (1)求证：OM ＝ON； (2)求∠MON的度数． 类型二 连接两中点构造中位线 典例2 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG＝3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是（　　） A．15 B．12 C．9 D．6 针对训练2 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，P是AC的中点，M是AD的中点， ∠BAC＝80°，∠ACD＝ 20°． (1)求∠PMN的度数； (2)求的值． 类型三 取中点构造中位线 （1）直接取一边中点 典例3如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CDBC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝2CD，连接DF．若AB＝8，则DF的长为（　　） A．3 B．4 C．2 D．3 （2） 连接对角线，再取对角线中点 典例4（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　） A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF 针对训练3 5．如图，在□ABCD中，E是CD中点，F是AE的中点，FC交BE于点G （1）求证：GF＝GC （2）求证：BG＝3EG 6．如图，AD是△ABC的角平分线，AD＝AC，BE⊥AD于点E，AC，BE的延长线交于点F （1）求证：BE＝EF； （2）求证：AB－AC＝2DE 类型四 延长一边构造中位线 典例5 如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为（　　） A．3 B．2.5 C．1.5 D．1 针对训练4 7.如图、AB＝BC，DC＝DE、∠ABC＝∠CDE＝90°，D，B，C在一条直线上，F为AE的中点 （1）求证：BF∥CE （2）若AB＝2DE＝5，求BF的长 类型五 延长两边构造中位线 典例6（2021•丹东模拟）如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 针对训练5 8．如图，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD、M为BC的中点，若AB＝12，AC＝18，求MD的长 类型六 作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线 典例7 （2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 第二部分 专题提优训练 1、 选择题 1．（2021•安徽模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP＝∠ABP，则PE＝（　　） A．1 B． C． D．2 2．（2021•安徽二模）如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（　　） A．1 B． C． D． 3．（2021春•衢州期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　） A．2 B．5 C．7 D．9 5．（2021秋•寿光市期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（　　） A．1