第02讲 二次根式中蕴含的数学思想及二次根式的化简技巧-2021-2022学年八年级数学下册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）

第02讲 二次根式中蕴含的数学思想及二次根式化简常用技巧（原卷版） 第一部分 二次根式中蕴含的数学思想： 一、整体思想 例1 已知，，求：的值. 针对训练1： 1．已知，，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值. 二、分类讨论思想 例2　化简： . 针对训练2： 2.已知a是实数，求的值. 三、数形结合思想 例3　已知实数a，b，c在数轴上的位置如图3-1所示，且｜a｜＝｜b｜，化简：｜a｜+｜a+b｜－－2. 图3-1 c b 0 a 针对训练3 3.数a，b在数轴的位置如图所示，化简：＋－． 四、转化思想 例4 化简得( ) A．2 B．－4x＋4 C．－2 D．4x－4 针对训练4 4．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为　　　． 5、 从特殊到一般的思想 例5 观察下列各式及其验证过程： 验证： 验证： （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并说明它的成立. （3）在上述等式的验证过程中，用到等式（n≥0），能否得到等式，……，其一般规律可表示什么样的等式，写出一般等式. 针对训练5： 5.请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴＝11；同样，∵1112＝12321，∴＝111；…；由此猜想＝＿＿＿＿. 第二部分 二次根式化简常用技巧 技巧一：巧用乘法公式 例6 化简： 针对训练6 6．（）×（） 技巧二：巧用因式分解 例7 化简：　 　． 针对训练7 7．化简 技巧三 巧用积的乘方逆运算 例8 化简 针对训练8： 8．(）2（）2 技巧四 先平方再开方法 例9 （2021春•九龙坡区校级月考）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则的值是（　　） A． B． C． D． 针对训练9 9．化简：. 技巧五 巧取倒数法 例10 化简 第三部分 二次根式大小的比较技巧 技巧一 求差比较法 方法指引：求差与0作比较。 例11 比较和的大小 技巧二 求商比较法 方法指引：求商与1作比较。 例12 比较 技巧三 平方法 方法指引：先将两个根式各自平方，然后比较平方后的大小，再判断原数的大小 例13 比较3的大小 技巧四 内迁法 方法指引：对于两个正的二次根式，把根号前的系数平方后放进根号里去，比较被开方数的大小。 例14 比较3的大小 技巧五 分子有理化法 方法指引：先将分式里分子中的根号化去后，再把结果进行比较，便可以判断原来的根式的大小． 例15 比较 与的大小 技巧六 分母有理化法 方法指引：先将分式里分母中的根号化去后，再把结果进行比较 例16 比较 技巧七 利用倒数比较法 方法指引：先比较倒数的大小，再比较原数的大小 例17 设a＝－，b＝2－，c＝－2，试比较a，b，c的大小． 第四部分 专题提优训练 1. 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简－|a＋b|的结果为(　　) 　　 A. 2a＋b B. －2a＋b C. b D. 2a－b 2. 设a＝－，b＝2－，c＝－2，则a、b、c的大小关系是(　　) A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D. b>c>a 3. 已知m是的小数部分，则m2＋2m＋2＝________． 4. 计算：(＋2)2 020(－2)2 019＝________． 5. 实数a、b在数轴上对应点的位置如右图所示，化简－|a|的结果是________． (1)(2 －3 )2－(2 ＋3 )(2 －3 ); (2)－－(＋1)2＋. 7. 已知a＝－1，b＝＋1，求a2－5ab＋b2＋5的值． 8. 先化简，再求值： (1) (a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中a＝－2－，b＝－2； 9. 已知x、y满足y＜－＋4，试化简|y－4|－. 10. 对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b＝ ，如3※2＝＝＝，试求(8※4)×(36※4)的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $第02讲 二次根式中蕴含的数学思想及二次根式化简常用技巧（解析版） 第一部分 二次根式中蕴含的数学思想： 一、整体思想 例1 已知，，求：的值. 思路指引：先将 变形成，然后将x＋y和xy的值整体代入． 解：x＋y＝＋(＝2，x×y＝＝1. = 题眼直击：敏锐地发现x,y之间的互为有理化因式的关系，敏锐地发现要求的代数式是对称关系。从而考虑可以用整体代入。 方法点睛：本题如果直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错．通过观察已知条件和欲求值的式子，现它们都可以化简,这样采取变更