第01讲 锐角三角函数的定义-2021-2022学年九年级数学下册同步精品随堂讲义+练习+检测(人教版)

第01讲 锐角三角函数的定义 【教学目标】 1.了解正弦，余弦，正切这三个锐角三角函数的定义，能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数 2.掌握特殊角的三角函数值，会用三角函数解决三角形中的边角问题，会用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求角度的大小 3.体验数形结合思想在解决问题中的广泛应用，感受学习数学的乐趣和成功的喜悦. 【教学建议】 锐角三角函数既是相似三角形及函数的继续，也是学习三角函数的基础，锐角三角函数的定义，这是中考的热点.在近几年的中考中，主要考查已知直角三角形的两边长求锐角的三角函数值，题目较简单，题型主要有选择题和填空题. 【知识导图】 【复习预习】 带着这个问题走进我们今天学习的内容------锐角三角函数，前面我们学过在直角三角形中，知道任意两条边，通过勾股定理可以求出第三条边， 例如：已知在中，，BC=12，AC=5，求边AB的长. 利用勾股定理：可得：AB=13 那么知道一角一边能求出其他的边和角吗？ 【知识讲解】 1、当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定值 （1）任意画一个锐角A的一边上任取一点B,自点B向另一边作垂线，垂足为C，从而得到一个RtABC,如图RtABC中的三条边每两边构成一个比，一共可得到如下六个比：. （2）在锐角A的AB边上再取 另一点B中的三条边也构成如下六个比，.那么有两个直角三角形所得的对应比有怎样关系呢？ 所以点B1是在AB边上任取得，所以前面的操作具有普遍性 所以当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定得值. 2、 正弦、余弦、正切的定义 由知识点1可知，当锐角A的度数固定时，的对边与斜边的比是一个固定值，的邻边与斜边的比也是一个固定值，的对边与邻边的比也是一个固定值. 在Rt的对边分别为a,b,c,如图所示： （1）我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作sinA,即sinA=. （2）我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作cosA,即cosA=. （3） 知识拓展：（1）正弦、余弦和正切都是一个比，没有单位. （2）正弦值，余弦值和正切值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关. （3）sinA、cosA、tanA是整体符号，不能写成sinA、cosA 、tanA. （4）当用三个字母表示角时，角的符号不能省略，如sin. （5）sin表示（sinA）. （6）三角函数还可以表示成sin、、tan （7）在RtABC中， , （8）在RtABC中, , （9）在RtABC中, ， （10）在RtABC中, , 3、锐角三角函数的定义 锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做的锐角三角函数. （1）三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化. （2）由定义可知，0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0.令y=sinA,y=cosA,y=tanA,则函数中自变量的取值范围均为0函数的增减性分别为： ①y=sinA在自变量的取值范围内，y随的增大而增大 ②y=cosA在自变量的取值范围内，y随的增大而减小 ③y=tanA在自变量的取值范围内，y随的增大而增大. 知识拓展： （1）锐角的三个三角函数都是比，当锐角不变时，该角的正弦值，余弦值，正切值也不变. （2）锐角的三角函数值与角的两边的长短无关. （3）当锐角A所在的三角形不是直角三角形时，可适当地作辅助线，构造出直角三角形，从而求出sinA、cosA、tanA. 4、特殊角的三角函数值 特殊角的三角函数值主要是指30这三个角的三角函数值，如下表： 知识拓展：（1）结合图形：如图及其中的数据和三角函数的定义来计算特殊角的三角函数值，从而记住结果. （2）对于其他相关角的三角函数值，往往用定义求解，如15. （3）等边三角形，等腰直角三角形，及与30角相联系的其他三角形问题，常常要用特殊角的三角函数值解答. 【例题精析】 类型一 当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定得值 例1：如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】c 【解析】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD， ∴∠α=∠ACD，∴cosα=cos∠ACD===，只有选项C错误，符合题意．故选：C． 变式1：如图， 在中，，，， 则的值是( ) A． B． C． D． 【答案】