第02讲 解直角三角形-2021-2022学年九年级数学下册同步精品随堂讲义+练习+检测(人教版)

第02讲 解直角三角形 【教学目标】 1.掌握直角三角形的边角关系 2.会运用勾股定理、直角三角形中两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，提升分析问题及解决问题的能力 3.通过本章的学习，渗透数形结合的数学思想，培养学生的学习兴趣 【教学建议】 利用直角三角形的边角关系求图形中的边或角时，都是通过数值计算得到的，这是数形结合思想的应用，所以在分析问题时，最好先画出图形，这样有助于分析，防止出错.另外还要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素，会运用转化思想通过添加辅助线化不规则图形为规则图形，构建直角三角形来求解． 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态． 学校操场上的国旗杆要更换，要求新旗杆与旧旗杆一样高，学校决定把测量旧旗杆高的任务交给我们，为了课下顺利完成测量任务，今天请同学们设计出一套切实可行的测量方案。 测国旗杆的高度 一、测量工具：皮尺(长度用a、b、c……表示) 测倾器(角度用α、β、γ……表示) 二、要求：1、设计测量方案 2、计算 如何才能完成这个测量任务呢？ 【知识导图】 【复习预习】 上节课我们学习了锐角三角函数的定义， 在 中，设∠C=90°，∠A,∠B，∠C的对边分别为a,b,c,如图所示： （1）我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA,即sinA=. （2）我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA,即cosA=. （3）我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA,即tanA=. 今天我们学习利用锐角三角函数的定义及勾股定理来解直角三角形. 【知识讲解】 1、解直角三角形的概念 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 知识拓展：直角三角形中一共有六个元素，即是那条边和三个角，除直角外，另外的五个元素中，只要已知一条边和一个角或两条边，就可以求出其余的所有未知元素. 2、直角三角形中的边角关系及其定理 （1）直角三角形的边角关系：在 ①三边之间的关系：(勾股定理) ②两锐角之间的关系： ③边角之间的关系：. （2）直角三角形中的有关定理： ①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. ②直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半. ③直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30 ④直角三角形中，斜边上的高是这条高分斜边所得的两条线段的比例中项.如图 ⑤面积公式：如图，. 知识拓展：运用关系式解直角三角形时，常用到以下变形： (1) 锐角之间的关系： (2) 三边之间的常用变形： (3) 边角之间的关系： 新课导读： 考虑到测倾器本身有一个高度，因此先量出测倾器的高CD=b，再量出测倾器到旗杆底的距离BD=a，测出点C到旗杆顶A点的仰角a ∵CDBE为矩形， ∴BE=CD=b,CE=BD=a 在Rt△AEC中， AE=EC·tana ∴AB=AE+EB=b+a·tana 3、解直角三角形的基本类型及其方法 解直角三角形有四种基本类型： （1）已知斜边与一直角边 （2）已知两直角边 （3）已知斜边与一锐角 （4）已知一直角边与一锐角. 其步骤如下表： 图形 已知类型 已知条件 解法步骤 两边 斜边，一直角边（如c,a） 1.b= 2. sinA=,求∠A 3. ∠B=90°-∠A 两直角边（a,b） 1. 2. tanA=,求∠A 3. ∠B=90°-∠A 一边一角 斜边，一锐角（如c, ∠A） 1. ∠B=90°-∠A 2. sinA=，得a=csinA 3. cosA=,得b=ccosA 一直角边，一锐角（如a, ∠A） 1. ∠B=90°-∠A 2. tanA=,得b= 3. sinA=,得c= 【例题精析】 类型一 解直角三角形的概念 例1：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】解：∵AC=，∠C=45°， ∴AD=AC•sin45°=×=6，∵tan∠ABC=3，∴=3，∴BD==2，故选：A． 【总结与反思】根据三角函数定义可得AD=AC•sin45°，从而可得AD的长，再利用正切定义可得BD的长． 变式1：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=0.6，则BC的长是