第12-13讲 空间向量及其在立体几何中的应用（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第一册）

第12讲 空间向量 (核心考点讲与练) 1、空间向量的概念与运算 （１） 空间向量的定义和相关概念（模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、负向量 等）与平面向量情形相同． （２） 对只与一组共面向量相关的问题，有关平面向量的定义与结论均适用．特别地，平 面向量运算（加法、减法、与实数的乘法、数量积）的定义与性质直接适用于空间向量． 考点一：空间向量的概念与运算 一、填空题 1．（2019·上海市延安中学高二期中）给出以下结论： ①空间任意两个共起点的向量是共面的； ②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量； ③空间向量的加法满足结合律：； ④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④ 【分析】 根据起点和终点点共面，可知①正确；由相等向量定义可知②错误；根据向量加法运算律和线性运算法则可知③④正确. 【详解】 ①中，两个向量共起点，与两向量终点共有个点，则点共面，可知两向量共面，①正确； ②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】 本题考查向量部分相关命题的判定，涉及到相等向量的概念、向量加法的运算律和三角形法则的运用等知识，属于基础题. 2．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）若、、是空间中的三个向量，，，，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】 建立平面直角坐标系，求得点的轨迹，结合圆的知识求得的最小值. 【详解】 设，，，∴，求的最值，、、、在同一平面时，有最值， 如图建系，不妨设，，，中点， 可知，，， ，由可知， 消参可得，即点轨迹为， 点的轨迹是为圆心，半径为的圆. 所以，即． 故答案为： 3．（2022·上海金山·高二期末）在空间直角坐标系 中，已知向量，则 在轴上的投影向量为________. 【答案】 【分析】 根据向量坐标意义及投影的定义得解. 【详解】 因为向量，所以 在轴上的投影向量为. 故答案为: 4．（2021·上海·位育中学高二阶段练习）空间四边形中，E､F､G､H分别是､､､边的中点，如果，，则___________. 【答案】 【分析】 首先构造平行四边形，然后利用向量法计算出. 【详解】 画出图象如下图所示，， ， 所以四边形是平行四边形. ，， ，， ， 两式相加得， . 所以. 故答案为： 5．（2022·上海金山·高二期末）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数为______． 【答案】1 【分析】 根据空间平面向量的运算性质，结合空间向量垂直的性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】 由图像可知，， 则． 因为棱长为1，，所以， 所以， 故集合中的元素个数为1． 故答案为：1 6．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）如图，已知线段AB在平面内，线段AC⊥，线段BD⊥AB，线段⊥，=30°，如果AB=a，AC=BD=b，则C、D间的距离为_____________； 【答案】 【分析】 根据图像将用表示出来，然后求模即可得到结果． 【详解】 解：线段在平面内，线段，线段，线段，，如果，， 由题意可知：， 因为AC⊥，⊥，运算， 又=30°，所以异面直线所成的角为， ． 所以、间的距离为：． 故答案为：. 7．（2021·上海中学高二期中）已知是空间单位向量，，若空间向量满足且对任意、，则______ 【答案】## 【分析】 根据最值的定义，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可. 【详解】 由可知： 当时，有最小值1， 因为是空间单位向量，,空间向量满足, 所以, 显然当时，有最小值，最小值为1，所以， 解得：，即当时成立，因此， 故答案为： 【点睛】关键点睛：根据最值的定义利用配方法是解题的关键. 二、解答题 8．（2019·上海·复旦附中高二期中）如图，在四棱锥中中，底面，，，，，点为棱的中点. （1）证明：； （2）若为棱上一点，满足，求线段的长. 【答案】（1）略；（2） 【分析】 （1）以A为原点建立空间直角坐标系，分别表示出和的坐标，数量积为0即可证明两向量垂直； （2）设F点的坐标，由计算出F点的位置，再根据向量计算出的长。 【详解】 （1）底面ABCD，， ∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 由题意，，，，， ，， ， . （2）， ， 由点F在棱PC上，设，， ， ，，解得， 即线段的长为。 【点睛】 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，向量垂直的性质和模长公式是解题的关键