第11讲 曲线与方程（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第一册）

第11讲 曲线与方程(核心考点讲与练) 考点一：曲线与方程的概念 【例1】方程表示的曲线是 A．一个圆和一条直线 B．半个圆和一条直线 C．一个圆和两条射线 D．一个圆和一条线段 【答案】C 【解析】可变形为或， 故表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x＋y－2＝0在圆x2＋y2－9＝0外面的两条射线. 【例2】方程y=-对应的曲线是 【答案】A　 【解析】将y=-平方得x2+y2=4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A. 考点二 直接法求轨迹方程 【例3】 已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P(x，y)的轨迹方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设P（x，y），M（﹣2，0），N（2，0），， 则， 由，得， 化简整理得． 故选A． 【例4】 已知坐标平面上一点与两个定点，，且． （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为，求直线的方程． 【解析】（1）由，得， 化简得， 所以点的轨迹方程是， 该轨迹是以为圆心，以为半径的圆． （2）当直线的斜率不存在时，，此时所截得的线段的长为， 所以符合题意． 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 圆心到的距离， 由题意，得，解得． 所以直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 考点三 定义法求轨迹方程 【例5】 已知圆A，圆B：，动圆P与圆A、圆B均外切. （1）求动圆P的圆心的轨迹C的方程； （2）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求｜MN｜的最小值. 【解析】（1）设动圆P的半径为，则│PA│＝，│PB│=， ∴│PA│－│PB│=2. 故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 其方程为. （2）设MN的方程为， 代入双曲线方程，得. 由，解得. 设, 则， 当时,. 故｜MN｜的最小值为6. 考点四 相关点法求轨迹方程 【例6】 已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程. 【解析】设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0). 因为，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，则x0＝x，y0＝. 又点M在圆C上，所以，即， 所以动点Q的轨迹方程为. 【例7】 在直角坐标系中，，不在轴上的动点满足于点为的中点. （1）求点的轨迹的方程； （2）设曲线与轴正半轴的交点为，斜率为的直线交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【解析】（1）解法一：设点， 因为轴，为的中点，所以， 因为，所以，即，化简得， 所以，点的轨迹的方程为. 解法二：依题意可知点的轨迹方程为， 设点，因为轴，为的中点，所以， 所以，即， 所以，点的轨迹的方程为. （2）依题意可知，设直线的方程为， 、， 由，得， 所以，，， 所以 ， 所以，为定值0. 考点五 参数法求轨迹方程 【例8】 如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9.连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9). （1）求证:点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程; （2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若与的面积比为4∶1,求直线l的方程. 【解析】解法一：（1）依题意,过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x=i, Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=x. 设Pi的坐标为(x,y),由得y=x2,即x2=10y. 所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y. （2）依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10. 由得, 此时Δ=100k2+400>0,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N. 设,则， 因为S△OCM=4S△OCN,所以|x1|=4|x2|. 又x1·x2<0,所以x1=-4x2, 分别代入①和②,得，解得k=±. 所以直线l的方程为y=±x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0. 解法二：（1）点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线E：x2=10y上. 证明如下：过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x=i, Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=x. 由解得Pi的坐标为(i,). 因为点Pi的坐标都满足方程x2=10y，所以点Pi