6.3 向量基本定理及坐标表示-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）

6.3 向量基本定理及坐标表示 一、平面向量基本定理 1、平面向量基本定理： （1）条件：、是同一个平面内的两个不共线的向量 （2）结论：对于这一平面内的任意向量，有且仅有一对实数，，使 （3）基底：若，不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 【重点】 1、对基底的理解 （1）基底的两个主要特征 ①基底是两个不共线向量； ②基底的选择是不唯一的． 平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的条件． （2）零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2、平面向量基本定理的应用 （1）平面向量基本定理唯一性的应用： 设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 （2）重要结论设{e1，e2}是平面内一个基底， 若， ①当时，与共线； ②当时，与共线； ②当时，； 二、平面向量正交分解 1、平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2、平面向量的坐标产生过程： （1）建系选底：在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为、，取作为基底。 （2）线性表示：对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得. （3）定义坐标：有序数对叫做向量的坐标. （4）特殊向量的坐标：，， 【注意】 1．在直角坐标平面内，以原点为起点的向量，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)． 2．平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关； 应把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有起点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等． 3．符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)． 特别注意：向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号． 4．(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直． (2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等， 即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (4)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 三、向量数量积的坐标运算 1、两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 （1）两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。 若，，则 （2）若两个向量垂直，则 2、三个重要公式 （1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 题型一 平面向量基本定理的理解 【例1】设、是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是 A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-1】设、是平面内的两个向量，则有 A．、一定平行 B．、的模相等 C．对同一平面内的任一向量，都有 D．若、不共线，则对平面内的任一向量都有 【变式1-2】如果，是平面内所有向量的一组基底，那么 A．若实数，使，则 B．空间任一向量可以表示为，这里， C．对实数，，不一定在平面内 D．对平面中的任一向量，使的实数，有无数对 【变式1-3】已知是平面内两个不共线的向量，给出下列四个命题： ①可以表示平面内的所有向量； ②对于平面内的任意向量，使的实数，有无数对； ③若向量与共线，则有且只有一个实数，使得； ④若实数，，使，则 其中假命题的是 A．①② B．②③ C．③④ D．仅② 【变式1-4】如图，点是平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为平行四边形所在平面一组基底的向量组是( ) A.① ② B.③ ④ C.① ③ D.① ④ 题型二 用基底表示向量 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种： 一种是运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止； 另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． 类型1 利用向量的线性运算法则转化 【例2-1】如图，在平行四边形中，为边的中点，N为线段上靠近A点的三等分点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（1）已知在中，为线段上一点，且，若，则（ ） A. B. C. D. （2）如图，在正方形