6.2.3&6.2.4平面向量的计算-向量的数乘与数量积-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）

6.2.3-6.2.4 平面的计算-向量的数乘与数量积 一、向量的数乘运算 (1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． (2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. (3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 二、向量共线 1．向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2．向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3．向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【注意】 （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 三、平面向量的数量积 1、平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 2、平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 （1）e·a＝a·e＝|a|cos θ. （2）a⊥b⇔a·b＝0. （3）当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. （4）cos θ＝. （5）|a·b|≤|a||b|. 3、平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 4、两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线． 5、平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 题型一 向量的线性运算 【例1】（1）化简的结果是 A． B． C． D． （2）将[2(2+8)-4(4-2)]化简成最简形式为( ) A.2- B.2- C.- D.- （3）等于（ ） A. B. C. D.0 【变式1-1】化简___________． （2）________________。 【变式1-2】化简下列各式： （1）； （2）． 题型二 向量共线定理及其应用 类型1 证明三点共线 【例2-1】已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线； 【变式2-1】（2）设是不共线的两个非零向量. 若，求证：三点共线； （2）已知向量为平面内所有向量的一组基底，且，则四点中一定共线的三点是_____. 【变式2-2】已知非零向量不共线，且，，，，能否判定A，B，D三点共线？请说明理由． 类型2 利用向量共线求参数 【例2-2】（1）若与共线，求实数的值； （2）若，且三点共线，求实数的值. 【变式2-3】设是不共线的两个非零向量，已知，，若三点共线，则的值为( ) A．1 B．2 C．-2 D．-1 【变式2-4】（1）已知与是两个不共线向量，且向量与共线，则的值为___． （2）已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是( ) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 （3）已知为非零不共线向量，向量与