6.1 平面向量的概念-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）

6.1 平面向量的概念 【知识点1 向量的概念】 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 【注意】 （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 【知识点2 向量的表示法】 1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2．向量的表示方法： （1）字母表示法：如等. （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 【注意】 （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 【知识点3 向量的有关概念】 1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 【注意】（1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2．零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量. 【注意】 （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量. 【注意】 在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 【知识点4 向量的共线或平行】 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线. 【注意】 1.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. 2.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 题型一 平面向量的几何表示 【例1】在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量. （1）试以B为起点画一个向量，使； （2）画一个以C为起点的向量，使||＝2，并说出c的终点的轨迹是什么． 【解析】（1）根据相等向量的定义，所作向量应与同向，且长度相等，如下图所示． （2）由平面几何知识可作满足条件的向量，所有这样的向量的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示． 【变式1-1】某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点 （1）作出向量，，(表示200m)；（2）求的模. 【解析】（1）根据题意，如图所示. （2）由题意及（1）可得，四边形为平行四边形,所以. 【变式1-2】飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？ 【解析】如图所示， 表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则||＝1 400 km. 表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则||＝1 400 km. 所以为飞机从A地到C地的位移． 在△ABC中，AB＝BC＝1 400 km，且∠ABC＝75°－15°＝60°， 故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1 400 km. 所以C地在A地北偏东60°－15°＝45°方向上，距离A地1 400 km. 【变式1-3】一个人从点A出发沿东北方向走了100m到达点B，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m到达点C． （1）画出；（2）求. 【解析】（1）如图所示. （2）因为，，所以为正三角形，故. 【变式1-4】如图所示，如果小正方形的边长为1，则||＝________，||＝________，||＝________. 【答案】3 2 【解析】||＝＝3， ||＝＝， ||＝＝2. 【变式1-5】中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有__________个. 【答案】11 【解析】马在处有两条路可走，在处有三条路可走，在处有八条路可走. 如图，以点