课时作业(八) 等比数列的性质及应用（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

课时作业(八)　等比数列的性质及应用 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．已知a，b，c成等比数列，则方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况为(　　) A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．只有一个实根 D．无实根 D　[∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，且b≠0. ∴Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2<0，故方程ax2＋bx＋c＝0无实根．] 2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a7＝4a，a2＝2，则a1＝(　　) A．1 B． C．2 D． A　[由a3·a7＝a4·a6＝4a，所以＝q2＝4. 又等比数列{an}的公比为正数，所以q＝2，所以a1q＝2，则a1＝1.] 3．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 D　[依题意有解得] 4．等比数列{an }中，首项为a1，公比为q，则下列条件中，使{an}一定为递减数列的条件是(　　) A．|q|<1 B．a1>0，q<1 C．a1>0，0<q<1或a1<0，q>1 D．q>1 C　[等比数列的增减性由首项的符号以及公比的绝对值来决定．由an＋1－an＝a1qn－1(q－1)<0，得a1>0，0<q<1，或a1<0，q>1.] 5．在等比数列{an}中，若a3＝－9，a7＝－1，则a5的值为(　　) A．3或－3 B．3 C．－3 D．不存在 C　[由等比数列的性质可知， a5是a3与a7的等比中项． ∴a＝a3·a7＝(－9)×(－1)＝9， ∴a5＝±3. 又a5＝a3·q2<0，∴a5＝－3.] 6．在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝ ． 解析：　由题意知q5＝＝8，am＋15＝am·q15＝3×83＝1 536. 答案：　1 536 7．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为 ． 解析：　由已知得S1·S4＝S， 即a1·(4a1－6)＝(2a1－1)2，解得a1＝－. 答案：　－ 8．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 平方厘米． 解析：　这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)， 则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211＝2 048. 答案：　2 048 9．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{bn}的通项公式． 解析：　依题意a＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，所以a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d.设数列{abn}的公比为q，则q＝＝＝3， 所以abn＝a13n－1，① 又因为abn＝a1＋(bn－1)d＝a1，② 由①②得a1·3n－1＝·a1. 因为a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1. 10．容器A中盛有浓度为a%的农药m L，容器B中盛有浓度为b%的同种农药m L，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持m L，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%? 解析：　设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%. b1＝(a0＋4b0)，a1＝a0＋b1＝(4a0＋b0)； b2＝(a1＋4b1)，a2＝a1＋b2＝(4a1＋b1)；…； bn＝(an－1＋4bn－1)，an＝(4an－1＋bn－1). ∴an－bn＝(an－1－bn－1)＝… ＝(a0－b0)·＝(a0－b0)·. ∵a0－b0＝，∴an－bn＝·. 依题意知·<1%，n∈N＋，解得n≥6. 故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%. $