课时作业(四) 等差数列的性质（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

课时作业(四)　等差数列的性质 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　) A．5 B．8 C．10 D．14 B　[由等差数列的性质得a1＋a7＝a3＋a5，因为a1＝2，a3＋a5＝10，所以a7＝8，选B.] 2．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　) A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a100≤0 D．a51＝0 D　[由题设知a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，∴a51＝0.] 3．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　) A．14 B．21 C．28 D．35 C　[∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4. ∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×4＝28，故选C.] 4．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为(　　) A．p＋q B．0 C．－(p＋q) D． B　[∵d＝＝＝－1， ∴ap＋q＝ap＋qd＝q＋q×(－1)＝0.] 5．设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则(　　) A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0 C　[∵数列{}为递减数列，a1an＝a1[a1＋(n－1)d]＝a1dn＋a1(a1－d)，等式右边为关于n的一次函数，∴a1d<0.] 6．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 021，则该数列的首项为 ． 解析：　设数列首项为a1，则＝1 010， 故a1＝－1. 答案：　－1 7．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝ ． 解析：　由等差数列性质得，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8. 答案：　8 8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升． 解析：　设此等差数列为{an}，公差为d，则 ∴ 解得∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝. 答案：　 9．某产品按质量分10个档次，生产最低档产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润增加2元/件，但产量减少3件．在相同的时间内，最低档次(设为第一档次)的成品可生产60件，则在相同的时间内，生产第几档次的产品可获得最大利润？ 解析：　设第n档次产品的产量为an，第n档次产品的利润为bn，则an＝60－3(n－1)＝63－3n(1≤n≤10，n∈N＋)， bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6(1≤n≤10，n∈N＋). 生产第n档次产品可获利 f(n)＝anbn＝(63－3n)·(2n＋6) ＝－6n2＋108n＋378 ＝－6(n－9)2＋864， 所以当n＝9时，f(n)取得最大值864. 即在相同时间内，生产第9档次的产品可获得最大利润． 10．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项数被4除余3的项组成数列{bn}． (1)求b1和b2； (2)求{bn}的通项公式； (3){bn}中的第110项是{an}的第几项？ 解析：　(1)∵a1＝3，d＝－5， ∴an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n. 数列{an}中项数被4除余3的项是{an}的第3项，第7项，第11项，…，其中b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. (2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项， 即bn＝am，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1， ∴bn＝am＝a4n－1＝8－5(4n－1) ＝13－20n(n∈N＋). ∵bn－bn－1＝－20(n≥2，n∈N＋)， ∴{bn}是等差数列，其通项公式为bn＝13－20n. (3)b110＝13－20×110＝－2 187，设它是{an}中的第k项，则－2 187＝8－5k，则k＝439. $