课时作业(十) 等比数列习题课（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

课时作业(十)　等比数列习题课 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．数列{an}为等比数列，若a1＝1，a7＝8a4，数列的前n项和为Sn，则S5＝(　　) A． B． C．7 D．31 A　[由题意，q6＝8q3，解得q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n－1， 因为数列的前n项和为Sn， 所以S5＝1＋＋＋＋＝＝.] 2．已知{an}是等比数列，数列{bn}满足bn＝log2an，n∈N*，且b2＋b4＝4，则a3的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．16 C　[{an}是等比数列，数列{bn}满足bn＝log2an，n∈N*，且b2＋b4＝4， 则log2(a2·a4)＝4，则a＝24， 整理得a3＝±4，由于an>0， 所以a3＝－4舍去，故a3＝4.] 3．在各项均为正数的等比数列{an}中，a＝2a16，则数列{log2an}的前7项和等于(　　) A．7 B．8 C．27 D．28 A　[由题意，a＝2a16，即a＝2a10q6 ∴a1q9＝2q6， 得a10＝2q6， 所以a1·q3＝2，即a4＝2， 所以T7＝log2a1＋log2a2＋…＋log2a7 ＝log2(a1·a2·…·a7)＝log2a＝7.] 4．(多选)在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　　) A．q＝1 B．数列{Sn＋2}是等比数列 C．S8＝510 D．数列{lg an}是公差为2的等差数列 BC　[由题意，可得a2a3＝a1a4＝32>0， a2＋a3＝12>0，故a2>0，a3>0. 根据根与系数的关系，可知a2，a3是一元二次方程x2－12x＋32＝0的两个根． 解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4. 故必有公比q>0，所以a1＝>0. 因为等比数列{an}是递增数列，所以q>1. 所以a2＝4，a3＝8满足题意． 所以q＝2，a1＝＝2. 故选项A不正确．an＝a1·qn－1＝2n. 因为Sn＝＝2n＋1－2. 所以Sn＋2＝2n＋1＝4·2n－1. 所以数列{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确． S8＝28＋1－2＝512－2＝510.故选项C正确． 因为lg an＝lg 2n＝n. 所以数列{lg an}是公差为1的等差数列． 故选项D不正确．] 5．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则an等于(　　) A．3×4n B．3×4n＋1 C． D． C　[当n≥1时an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，所以an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列． 又a2＝3S1＝3a1＝3. 所以an＝] 6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{an}的公比q＝ ，如果a1＝1，则S4＝ ． 解析：　由4a1，2a2，a3成等差数列，可得4a1＋a3＝4a2，即4a1＋a1q2＝4a1q， 可得q2－4q＋4＝0，解得q＝2， 又因为a1＝1，则S4＝＝15. 答案：　2　15 7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝＋a·3n，则＝ ． 解析：　因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝＋a·3n， 所以a1＝S1＝＋3a，a2＝S2－S1＝9a－3a＝6a，a3＝S3－S2＝27a－9a＝18a， 因为a1，a2，a3成等比数列，所以(6a)2＝×18a，解得a＝－(a＝0舍去)， 所以＝＝＝＝28. 答案：　28 8．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若数列{Sn－2a1}也为等比数列，则＝ ． 解析：　根据题意，设等比数列{an}的公比为q，对于等比数列{Sn－2a1}，其前三项为：－a1，a2－a1，a3＋a2－a1， 则有(－a1)(a3＋a2－a1)＝(a2－a1)2， 变形可得：－(q2＋q－1)＝(q－1)2， 解得：q＝或0(舍)，则q＝， 则＝＝＝＝. 答案：　 9．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13. (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列的前n项和Sn. 解析：　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q>0且解得 所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1. (2)＝， Sn＝1＋＋＋…＋＋，① 2Sn＝2＋3＋＋…＋＋.② ②－①，得Sn＝2＋2＋＋＋…