课时作业(九) 等比数列的前n项和（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

课时作业(九)　等比数列的前n项和 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝a3－8，且S3＝13，则a2＝(　　) A．－3 B．3 C．－ D．3或－ D　[设公比为q，易知q≠1. 由得 解得或，当时， a2＝a1q＝3； 当时，a2＝a1q＝－. 所以a2＝3或a2＝－.] 2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于(　　) A．2 B．4 C． D． C　[S4＝，a2＝a1q， 所以＝＝.] 3．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 C　[设该等比数列的首项为a1，公比为q， 由已知得，a1q4＝3a1q2＋4a1， 因为a1>0且q>0，则可解得q＝2， 又因为a1(1＋q＋q2＋q3)＝15， 即可解得a1＝1，则a3＝a1q2＝4.] 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝2S10，则＝(　　) A． B．－ C． D．－ D　[由S5＝2S10，可知q≠1， 则＝2×，整理可得， 2q10－q5－1＝0，解得q5＝－或q5＝1(舍)， 则＝ ＝＝ ＝－.] 5．中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为(　　) A．里 B．1 050里 C．里 D．950里 C　[由题意知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{an}，则该匹马首日行走的路程为a1，公比为，则有＝700(里)， 则a1＝(里)，则＝(里).] 6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为 ． 解析：　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)， 又Sn＝(2x·3n－1)，所以＝即x＝. 答案：　 7．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15＝ ． 解析：　因为a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，a7＋a8＋a9，…成等比数列，所以S15＝＝11. 答案：　11 8.如图，最大的三角形是边长为2的等边三角形，将这个三角形各边的中点相连得到第二个三角形，依此类推，一共得到10个三角形，则这10个三角形的面积的和为 ． 解析：　设以2为边长的等边三角形的面积为a1，根据题意，设得到的第n个等边三角形的面积为an，则{an}是以a1＝×22＝为首项，以q＝为公比的等比数列，因为公比q≠1， 故这10个三角形的面积和为 S10＝＝ ＝. 答案：　 9．等比数列{an}中，a1＝2，a7＝4a5. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝126，求m. 解析：　(1)设数列{an}的公比为q， 所以q2＝＝4，所以q＝±2， 所以an＝2n或an＝－(－2)n. (2)由(1)知Sn＝＝2n＋1－2 或Sn＝＝[1－(－2)n]， 所以2m＋1－2＝126或[1－(－2)m]＝126(舍去)，解得m＝6. 10．在等比数列{an}中， a1·a2·a3＝27，a2＋a4＝30，试求： (1)a1和公比q； (2)前6项的和S6. 解析：　(1)根据题意，在等比数列{an}中， a1·a2·a3＝27，则有a1·a2·a3＝a＝27，即a2＝3，a2＝3时，a4＝30－a2＝27，有q2＝＝9，即q＝±3， 若q＝3，则a1＝＝1， 若q＝－3，则a1＝＝－1， 综上，a1＝1，q＝3或a1＝－1，q＝－3. (2)当q＝3，a1＝1时，前6项的和S6＝＝364； 当q＝－3，a1＝－1时， 前6项的和S6＝＝182. $