课时作业(二) 数列的函数特性（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

课时作业(二)　数列的函数特性 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 C　[观察数列可知，从第2项开始后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13，故选C.] 2．数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于(　　) A． B． C． D． C　[∵a1·a2·a3·…·an＝n2，∴a1·a2·a3＝9，a1·a2＝4，∴a3＝.同理a5＝，∴a3＋a5＝＋＝.] 3．对任意的a1∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是(　　) A　[据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A.] 4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a2 021＝(　　) A．0 B．－ C． D． B　[由a1＝0，可求a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，…，可知周期为3，所以a2 021＝a2＝－.] 5．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是(　　) A．a1，a30 B．a1，a9 C．a10，a9 D．a10，a30 C　[∵an＝＝＋1， ∴点(n，an)在函数y＝＋1的图象上． 在直角坐标系中作出函数y＝＋1的图象， 由图象易知，当x∈(0，)时，函数单调递减． ∴a9<a8<a7<…<a1<1， 当x∈(，＋∞)时，函数单调递减， ∴a10>a11>…>a30>1. 所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.] 6．数列{an}中，an＝，则数列{an}的最小项的值为 ． 解析：　∵an＋1－an＝－ ＝ ＝>0. ∴an<an＋1，∴数列{an}是递增数列， ∴数列{an}的最小项为a1＝. 答案：　 7．已知数列{an}的通项an＝(a，b，c都是正实数)，则an与an＋1的大小关系是 ． 解析：　∵a，b，c均为正实数，f(x)＝＝在(0，＋∞)上是增函数，故数列an＝在n∈N＋时为递增数列，∴an<an＋1. 答案：　an＋1>an 8．已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N＋，则a2 021＋a2 022＝ ． 解析：　a2＝f＝－1＝； a3＝f＝－1＝； a4＝f＝＋＝； a5＝f＝2×－1＝； a6＝f＝2×－1＝. 即从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列． ∴a2 021＋a2 022＝a5＋a3＝1. 答案：　1 9．已知函数f(x)＝，设an＝f(n)(n∈N＋)， (1)求证：an<1； (2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 解析：　(1)证明：an＝f(n)＝＝1－<1. (2)数列{an}是递增数列，理由如下： ∵an＋1－an＝－＝－＝>0， ∴an＋1>an， ∴{an}是递增数列． 10．已知函数f(x)＝，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)，其中n∈N＋. (1)求这个数列的第10项； (2)是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内； (4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由． 解析：　(1)由题意可知an＝f(n)＝ ＝， ∵n∈N＋，∴3n－1>0，∴an＝. 令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝. (2)令＝，得9n＝300. 此方程无正整数解，∴不是该数列中的项． (3)证明：∵an＝＝1－， 且n∈N＋，∴0<1－<1， ∴0<an<1，∴数列中的各项都在区间(0，1)内． (4)令<an＝<， ∴∴ ∴当且仅当n＝2时，上式成立，故在区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝. $