课时作业(五) 向量分解及坐标表示（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【金版新学案】同步导学（湘教版）

课时作业(五)　向量分解及坐标表示 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [A级　基础达标] 1．如图，以e1，e2为基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为(　　) A．(1，3)　　　　　　　　 B．(3，1) C．(－1，－3) D．(－3，－1) A　[由图可知，a＝e1＋3e2，又e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则a＝(1，3)，故选A.] 2．如图所示，已知在△ABC中，D是边AB上的中点，则＝(　　) A．－ B．－＋ C．－－ D．＋ B　[＝－＝－＝－＋.故选B.] 3．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　) A．2e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－3e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1 D　[对于A：设2e1＋e2＝λe1，则，所以无解；对于B：设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则，所以无解；对于C：设e1＋e2＝λ(e1－3e2)，则，所以无解；对于D：设e1＋3e2＝λ(6e2＋2e1)，则，解得λ＝，所以此两向量是共线向量；故D中向量不能作为平面内所有向量的一组基底．故选D.] 4．(2021·浙江高一期末)在三角形ABC中，点D在直线AC上，且＝，点E在直线BD上，且＝2.若＝λ1＋λ2，则λ1＋λ2＝(　　) A．0 B． C． D． B　[因为＝2，故＋＝2＋2，故＝(3－)，所以＝×2－＝－＋，故λ1＝－，λ2＝1，则λ1＋λ2＝.故选B.] 5．在正方形ABCD中，设＝a，＝b.已知E，F，G分别是AB，DE，CF的中点，则＝(　　) A．a＋b B．a－b C．a＋b D．a＋b D　[由题中几何图形可知，＝＋＝＋＝(＋)＋＝(＋)＋＝(－＋)＋＝＋＝a＋b.故选D.] 6．如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝________．(用a，b表示) 解析：　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 答案：　a＋b 7．已知a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c＝－2e1＋4e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c＝________．(用a，b表示) 解析：　设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则－2e1＋4e2＝λ(e1＋e2)＋μ(2e1－e2)＝(λ＋2μ)e1＋(λ－μ)e2， 因为e1，e2不共线，则解得因此，c＝2a－2b. 答案：　2a－2b 8．已知△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，＝t，＝x＋y，则xy的最大值为________． 解析：　因为D，E分别为AB，AC的中点，＝t， 所以＝＋＝＋t＝＋t(－) ＝＋t＝(1－t)＋t 又＝x＋y，所以由x＋y＝， 所以xy≤＝，当且仅当x＝y＝时取等号．故xy的最大值为. 答案：　 9．如图，已知P是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，设Q为CP的延长线与AB的交点，令＝p，试用向量p表示. 解析：　∵＝＋，＝＋， ∴(＋)＋2(＋)＋3＝0， ∴＋3＋2＋3＝0， 又A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线， ∴设＝λ，＝μ，λ，μ∈R， ∴λ＋3＋2＋3μ＝0， ∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0， 而，为不共线向量，∴ ∴∴＝－＝. 故＝＋＝2＝2p. 10．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋. (1)求△ABM与△ABC的面积之比； (2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值． 解析：　(1)如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，所以存在实数λ， 使＝λ⇒＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ⇒λ＝， 所以＝，即面积之比为1∶4. (2)由＝x＋y，可得＝x＋，＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线，可得解得 [B级　能力提升] 11．如图，直角梯形ABCD 中，已知AB∥CD，∠BAD＝90°，AD＝AB＝2，CD＝1，动点P在线段BC上运动，且＝m＋n(m，n∈R)，则＋的最小值是(　　) A．3 B．3＋2 C．4 D．4＋2 C　[设＝λ.因为＝＋＋＝－＋＋＝－＋，所以＝＋＝＋λ＝＋λ(－＋)＝(1－λ)＋λ，所以m＝1－λ，n＝λ，所以2m＋n＝2，＋＝＋ ＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即n＝2m时取等号，此时λ＝1，P与C重合，符合题意．故选C.] 12．已知△ABC，点P是平面上任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，给出以下命题： ①若λ＝，μ＝，则P为△ABC的内心； ②若λ＝μ＝1，则直线AP经过△ABC的重心； ③若λ＋μ＝1，且μ>0，则点P在线段BC上； ④若λ＋μ>1，则点P在△ABC外； ⑤若0<