课时作业(四) 向量的数乘（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【金版新学案】同步导学（湘教版）

课时作业(四)　向量的数乘 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [A级　基础达标] 1．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D　　　　　　　 B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D A　[∵＝－5a＋6b，＝7a－2b，∴＝＋＝2a＋4b，又＝a＋2b，所以＝2，即∥，而，有公共点B，∴A，B，D三点共线，A选项正确；＝－4a＋8b，显然，，两两不共线，选项B，C，D都不正确．故选A.] 2．若点M是△ABC所在平面内的一点，满足＝＋，则＝(　　) A． B．4 C． D．3 C　[∵＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝＋(＋)，∴＋＝0，得＝.故选C.] 3．(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中不正确的是(　　) A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a ACD　[对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，故A不正确；而λ2>0，故a与λ2a的方向相同，B正确；对于C，|－λa|＝|λ||a|，由于|λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C错误；对于D，|λ|·a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D错误．故选ACD.] 4．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝(　　) A． a＋ b B． a＋ b C． a＋ b D． a＋ b B　[由题得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，即＝＋，解得＝＋，即＝ a＋b．故选B.] 5．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项中结论不正确的是(　　) A．＝2 B．＋＋＝0 C．＝＋＋ D．＝＝ D　[如图：根据欧拉线定理可知，点O，H，G共线，且GH＝2OG. 对于A，因为GH＝2OG，所以＝2，故A正确；对于B，取BC的中点为D，则＋＋＝＋2＝0，故B正确；对于C，＝3＝3(－)＝3(－)＝2－3＝2(＋)－3＝2－＝＋＋，故C正确；对于D，＝＝显然不正确．故选D.] 6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________． 解析：　方法一：由＝2，得－＝2(－)，即＝＋，所以λ＝. 方法二：由D是AB边上一点知，A，B，D三点共线． 又＝＋λ，所以＋λ＝1，因此λ＝. 答案：　 7．若＝(a＋5b)，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则共线的三点是________． 解析：　∵＝＋＝a＋5b，∴＝，则A，B，D三点共线． 答案：　A，B，D 8．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________． 解析：　因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC与△ABC的面积之比为2∶3. 答案：　2∶3 9．设两个不共线的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？ 解析：　d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2， 要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc(c≠0)， 即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝2ke1－9ke2， ∴(2λ＋2μ－2k)e1＝(－9k＋3λ－3μ)e2， 又e1，e2是两个不共线的向量， ∴解得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ. 10．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设＝λ，将用λ，，表示； (2)设＝x，＝y，证明：＋是定值． 解析：　(1)＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ. (2)证明：一方面，由(1)，得 ＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；① 另一方面，∵G是△OAB的重心， ∴＝＝× (＋)＝＋.② 而，不共线，∴由①②，得 解得 ∴＋＝3(定值). [B级　能力提升] 11．O为△ABC内一点，且2＋＋＝0，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为(　　) A．　　　B．　　　　C．　　　 D． A　[由＝t有－＝t(－)，所以＝t＋(1－t)，因为B，O，D三点共线，所以＝λ，则2＋＝λt＋(1－t)λ，