课时作业(十一) 解三角形应用举例（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【金版新学案】同步导学（湘教版）

课时作业(十一)　解三角形应用举例 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [A级　基础达标] 1．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为(　　) A．500米　　　　　　　　 B．600米 C．700米 D．800米 C　[由题意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°.利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos 120°，所以AB＝700米，故选C.] 2．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在点B测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m A　[如图所示，设水柱CD的高度为h.在Rt△ACD中，∵∠DAC＝45°，∴AC＝h.∵∠BAE＝30°，∴∠CAB＝60°.又∵B，A，C在同一水平面上，∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴BC＝h.在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos 60°，∴(h)2＝h2＋1002－2×100h·，整理化简得h2＋50h－5 000＝0，解得h＝50(负值舍去).故选A.] 3．某人在A处向正东方向走x km后到达B处，他沿南偏西60°方向走3 km到达C处，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为(　　) A．或3 B．或2 C．或3 D．2 B　[如图：AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝90°－60°＝30°， 在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC cos 30°， 即3＝x2＋32－2x×3×，所以x2－3x＋6＝0，即(x－)(x－2)＝0，解得x＝或x＝2，故选B.] 4．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为(　　) A． B． C． D． D　[∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°，在△BAD中，由正弦定理得＝，即＝，所以AD＝，因为在Rt△ACD中，＝sin ∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝AD×sin 73.5°＝，故选D.] 5．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为2海里的C处有我方一艘辑私艇奉命以10海里/小时的速度追截走私船，B在C的正东方向，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问辑私艇最快追上走私船时，行驶方向为(　　) A．北偏东30° B．北偏东45° C．北偏东60° D．北偏东75° C　[如图，设需要t小时追上走私船，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos ∠CAB＝22＋(－1)2－2×2×(－1)×cos 120°＝6，所以BC＝.在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin ∠DCB＝，则∠DCB＝30°，所以辑私艇沿北偏东60°方向追击．故选C.] 6．和县文昌塔是市级文物保护单位且底部不能到达，现要测量文昌塔AB的高度，如图所示，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距30 m，则文昌塔AB的高度是________m. 解析：　设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知可得BC＝h m， 在Rt△ABD中，由已知得，BD＝h m， 在△BCD中，由余弦定理可得3h2＝h2＋302－2h·30·cos 120°， 即h2－15h－450＝0，解得h＝30(负值舍去). 答案：　30 7．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12千米，渔船乙以10千米/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．则渔船甲的速度为________，sin α＝________．