课时作业(十七) 简单的三角恒等变换（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【金版新学案】同步导学（湘教版）

课时作业(十七)　简单的三角恒等变换 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [A级　基础达标] 1．若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝(　　) A． B． C． D．－ A　[因为α∈，所以sin α>0，由半角公式可得sin α＝＝＝.] 2．若α∈(0，π)，且sin α＋2cos α＝2，则tan 等于(　　) A．3 B．2 C． D． C　[∵α∈(0，π)，∴ ∈. ∵sin α＋2cos α＝2，∴cos α＝1－sin α. ∴tan ＝＝＝.] 3．函数f(x)＝2sin2x＋sin 2x的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π C　[函数f(x)＝2sin2x＋sin 2x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin ＋1，则该函数的最小正周期为＝π，故选C.] 4．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于(　　) A．－ B．－ C． D． D　[∵α，β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0， ∴cos β－cos α>0， ∴cos β>cos α. 又在(0，π)上，y＝cos x是减函数，∴β<α，∴0<α－β<π. 由原式可知2sin cos ＝， ∴tan ＝，∴＝，∴α－β＝.] 5．若sin θ＝，<θ<3π，则tan ＋cos ＝(　　) A．3＋ B．3－ C．3＋ D．3－ B　[因为<θ<3π，所以cos θ＝－＝－.因为<<，所以sin <0，cos <0，所以sin ＝－＝－，cos ＝－＝－，所以tan ＝＝3.所以tan ＋cos ＝3－.] 6．求值sin ＝________． 解析：　sin ＝ ＝ ＝. 答案：　 7．化简：＝________． 解析：　原式＝＝2cos α. 答案：　2cos α 8．设α为第四象限角，且＝，且tan 2α＝________． 解析：　＝ ＝＝cos 2α＋2cos2α＝cos2α＋1＋cos 2α＝2cos 2α＋1＝， 所以cos 2α＝， 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－，tan 2α＝－. 答案：　－ 9．已知cos 2θ＝，<θ<π. (1)求tan θ的值； (2)求的值． 解析：　(1)因为cos 2θ＝， 所以＝， 所以＝， 解得tan θ＝±， 因为<θ<π，所以tan θ＝－. (2)因为<θ<π，tan θ＝－， 所以sin θ＝，cos θ＝－， 所以＝＝＝－4. 10．已知函数f(x)＝sin (π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的最小值． 解析：　(1)f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx＝sinωx cos ωx＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋ ＝sin ＋. ∵ω>0，依题意得＝π，∴ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝sin ＋. 由题意，知g(x)＝f(2x)＝sin ＋. 当0≤x≤时，≤4x＋≤， ∴≤sin ≤1， ∴1≤g(x)≤. 故函数y＝g(x)在区间上的最小值为1. [B级　能力提升] 11．设α，β∈，且tan α－tan β＝，则(　　) A．3α＋β＝ B．2α＋β＝ C．3α－β＝ D．2α－β＝ D　[∵tan α－tan β＝， ∴－＝， ∴＝＋＝， ∴sin αcos β＝cos α(1＋sin β)＝cos α＋cos αsin β， ∴cos α＝sin αcos β－cos αsin β＝sin (α－β). 又cos α＝sin (α－β)＝cos ， 且α，β∈，∴－(α－β)∈(0，π)， ∴α＝－(α－β)，即2α－β＝，故选D.] 12．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则cos ＝________． 解析：　∵α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝， ∴cos α＝－，cos β＝. cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－×＋×＝. 又<α<π，0<β<，∴0<α－β<π，0<<. ∴cos ＝＝＝. 答案：　 $