课时作业(十二) 平面向量的应用举例（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【金版新学案】同步导学（湘教版）

课时作业(十二)　平面向量的应用举例 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [A级　基础达标] 1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于(　　) A．(－2，－2)　　　　　　　　 B．(2，－2) C．(－1，2) D．(－2，2) D　[因为F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)，所以F1＋F2＋F3＝(－2，－1)＋(－3，2)＋(7，－3)＝(2，－2)，要想使该物体保持平衡，只需F4 ＝－(2，－2)＝(－2，2)，故选D.] 2．河水的流速为5 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为(　　) A．13 m/s B．12 m/s C．17 m/s D．15 m/s A　[设河水的流速v2＝5 m/s， 静水速度与河水速度的合速度v＝12 m/s， 小船的静水速度为v1， 为了使船航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向， 即静水速度v1斜向上游方向， 河水速度v2＝5 m/s平行于河岸， 静水速度与河水速度的合速度v＝12 m/s指向对岸， 所以静水速度v1＝＝＝13(m/s).故选A.] 3．(多选)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状一定不是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 BCD　[∵(－)·(＋－2)＝0， ∴·(＋)＝0， ∴⊥(＋)， ∴△ABC的中线和底边垂直， ∴△ABC是等腰三角形．故选BCD.] 4．已知O是△ABC所在平面上一点，满足||2＋||2＝||2＋||2，则点O(　　) A．在与边AB垂直的直线上 B．在角A的平分线所在直线上 C．在边AB的中线所在直线上 D．以上选项都不对 A　[设＝a，＝b，＝c，则＝－＝c－b，＝－＝a－c，又||2＋||2＝||2＋||2，∴|a|2＋|c－b|2＝|b|2＋|a－c|2，化简可得b·c＝a·c，即(b－a)·c＝0，即·＝0，∴⊥，AB⊥OC，故选A.] 5．(多选)已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定不是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 ABD　[由||2＋||2＝||2＋||2得： ||2－||2＝||2－||2， 即2－2＝2－2，故(－)·(＋)＝(－)·(＋)， 故·(＋)＝(＋)·，∴·(＋－－)＝0， 又＝－，＝－， ∴·(＋＋－＋－)＝0，∴·＝0，即CO⊥AB， 同理·＝0，·＝0，即OB⊥AC，OA⊥BC，所以O是△ABC的垂心．故选ABD.] 6．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|2＋3|的最小值为________． 解析：　以，为x，y轴的正方向建立直角坐标系，如图所示： 设C(0，a)，P(0，b)，B(1，a)，A(2，0)，0≤b≤a， 则2＋3＝2(2，－b)＋3(1，a－b)＝(7，3a－5b)， |2＋3|＝ ≥7， 当b＝时取得最小值7. 答案：　7 7．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________． 解析：　由题意，圆C的半径为，且|AB|＝，可得∠ACB＝60°， 所以·＝－·＝－||·||cos ∠ACB＝－××＝－. 答案：　－ 8．小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h. 解析：　如图，设小船实际航行速度为v0，则v0＝v1＋v2，设船在静水中的速度为|v1|＝10 km/h，河水的流速为|v2|＝10 km/h, 因为v1⊥v2，所以|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝|v0|2， 所以|v0|＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h. 答案：　20 9．在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． 解析：　设向量a表示风速，b表示无风时飞机的航行速度，c表示有风时飞机的航行速度，则c＝a＋b. 如图，作向量＝a，＝b，＝c，则四边形OACB为平行四边形， 过C，B分别作OA的垂线，交AO的延长线于D，E两点， 由已知得，||＝75(－)，||＝150，∠COD＝45°， 在Rt△COD中，OD＝OC cos 45°＝75，CD＝75， 又ED＝BC＝OA＝75(－)， ∴在Rt△OEB中，OB＝＝150，sin ∠BOE＝＝， ∴