课时作业(十) 正弦定理（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【金版新学案】同步导学（湘教版）

课时作业(十)　正弦定理 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [A级　基础达标] 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，B＝，A＝，则b＝(　　) A．　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．6 A　[因为在△ABC中，a＝，B＝，A＝，所以由正弦定理可得b＝sin B＝＝.故选A.] 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a＝，则等于(　　) A． B． C． D．2 D　[A＝60°，a＝，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C，则＝2.故选D.] 3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝，A＝，则B＝(　　) A．或 B． C． D． B　[由正弦定理得＝，∴sin B＝＝＝.又b<a，∴B为锐角，∴B＝.故选B.] 4．定义平面向量的正弦积为a·b＝|a||b|sin 2θ(其中θ为a，b的夹角，且sin 2θ＝2sin θcos θ)，已知△ABC中，·＝·，则此三角形一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 A　[∵·＝·， ∴ca sin 2(π－B)＝ab sin 2(π－C)， ∴由正弦定理和sin 2θ＝2sin θcos θ得：2sin B cos B sin C ＝2sin C cos C sinB． ∵B，C是三角形的内角， ∴sin B＞0，sin C＞0， ∴cos B＝cos C， ∴B＝C， ∴△ABC是等腰三角形．] 5．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(注：cos 2α＝2cos2α－1)(　　) A．sinA∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B．△ABC是钝角三角形 C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D．若c＝6，则△ABC外接圆的半径为 ACD　[因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设(k>0)，解得所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A正确．由上可知，c最大，所以△ABC中角C最大，又cos C＝＝＝>0，所以C为锐角，所以B错误．由上可知，a最小，所以△ABC中角A最小，又cos A＝＝＝，所以cos 2A＝2cos2A－1＝，所以cos2A＝cos C．因为△ABC中角C最大且C为锐角可得，2A∈(0，π)，C∈(0，)，所以2A＝C，所以C正确．设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得2R＝.又sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，所以D正确．故选ACD.] 6．在△ABC中，若b＝2，B＝，sinA＝，则a＝________． 解析：　因为在△ABC中，b＝2，B＝，sin A＝， 由正弦定理可得＝， 所以a＝＝＝. 答案：　 7．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝4∶1∶1，AC＝，那么最大边长等于________． 解析：　因为△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝4∶1∶1，所以A＝＝，B＝，BC为最大边， 由正弦定理得＝＝＝2， 所以BC＝2sin A＝2sin ＝2×＝3. 答案：　3 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sin A cos C＝3cos A sin C，则b的值为________． 解析：　在△ABC中，因为sin A cos C＝3cos A sin C，则由正弦定理及余弦定理的推论有a·＝3··c，化简并整理得2(a2－c2)＝b2. 又a2－c2＝2b，所以4b＝b2，解得b＝4或b＝0(舍去). 答案：　4 9.如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD. (1)若sin ∠BAC＝，求sin ∠BCA； (2)若AD＝3AC，求AC. 解析：　(1)在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得sin ∠BCA＝. (2)设AC＝x，AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x，sin ∠CAD＝＝. 在△ABC中，由余弦定理的推论得，cos ∠BAC＝＝. 又∠BAC＋∠CAD＝， 所以cos ∠BAC＝sin ∠CAD，即＝， 整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－(舍去)，即AC＝3. 10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2B＝A＋C，向量m＝(3a，b)，n＝(2b，c)，m∥n. (1)求A； (2)若a＝2，求△ABC的面积． 解析：　(1)∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 即b2＝a2＋