课时作业(九) 余弦定理（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【金版新学案】同步导学（湘教版）

课时作业(九)　余弦定理 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [A级　基础达标] 1．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A为(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D．或 C　[在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝＝＝－. ∵A∈(0，π)，∴A＝.] 2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于(　　) A． B． C． D．5 A　[在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，所以c＝.] 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝，c＝，则C＝(　　) A． B． C． D． D　[由余弦定理，得cos C＝＝＝－， ∵C∈(0，π)，∴C＝.故选D.] 4．在△ABC中，若b＝1，c＝，B＝30°，则a＝(　　) A．2 B．1 C．1或2 D．2或 C　[在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B，将b＝1，c＝，B＝30°，代入可得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.故选C.] 5．(多选)在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定不是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ABC　[由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac cos B，而B＝60°，b2＝ac，所以ac＝a2＋c2－2ac·，即(a－c)2＝0，所以a＝c.又B＝60°，所以△ABC一定是等边三角形．故选ABC.] 6．在△ABC中，若a＝2，b＝2，c＝＋，则A＝________． 解析：　由余弦定理的推论得cos A＝＝＝， ∵0°<A<180°，∴A＝60°. 答案：　60° 7．在△ABC中，AB＝，BC＝1，C＝，则AC＝________． 解析：　由题知，在△ABC中，AB＝，BC＝1，C＝，则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，可得3＝AC2＋1－2AC×1×(－)，整理可得AC2＋AC－2＝0，解得AC＝1或－2(舍去). 答案：　1 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C，2b＝a，则cos A＝________. 解析：　由B＝C，2b＝a，可得b＝c＝a，所以cos A＝＝＝． 答案：　 9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝7，b＝8，cos A＝，求最大角的余弦值． 解析：　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得72＝82＋c2－2×8×c，解得c＝3或c＝5. 故最大边为b，则最大角为B. 由余弦定理的推论得cos B＝＝－或. 故最大角的余弦值是－或. 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2(＋A)＋cosA＝. (1)求A； (2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形． 解析：　因为cos2(＋A)＋cosA＝， 所以sin2A＋cosA＝， 即1－cos2A＋cosA＝，解得cos A＝. 又0<A<π，所以A＝. (2)证明：　由(1)知cos A＝＝， 即b2＋c2－a2＝bc.① 又b－c＝a，② 所以将②代入①得，b2＋c2－3(b－c)2＝bc， 整理可得2b2－5bc＋2c2＝0， 解得b＝2c或b＝. 又因为b－c＝a>0，所以b＝2c， 所以a＝c，故b2＝a2＋c2，所以△ABC是直角三角形． [B级　能力提升] 11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则以下结论不正确的是(　　) A．·＝0 B．·＝－ C．＋＝－ D．|－|＝ D　[对A，因八卦图为正八边形，故中心角为45°，∠FOD＝90°，所以·＝0，故A对；分析可知，∠AOD＝135°＝，·＝||·||cos ＝－，B对；对C，与的夹角为90°，又因||＝||，根据平行四边形法则＋＝＝－，C对；对D，|－|＝|＋|＝||，∠AOF＝，△AOF中，由余弦定理可得|AF|2＝|OA|2＋|OF|2－2|OA|·|OF|cos ＝2＋，|AF|＝，D错．故选D.] 12．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C的度数是(　　) A．45°或135° B．60°或135° C．120° D．30° A　[因为a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，所以(a2＋b2)2－2c2(a2＋b2)＋c4＝2a2b2，即(a2＋b2－c2)2＝2a2b2，即有a2＋b2－c2＝±ab，由余弦定理可得cos C＝＝±，由0<C<π，则C＝或.故选A.] $