6.2.2 向量的减法运算-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

6.2 平面向量的运算 6.2.2 向量的减法运算 问题导入 思考1：在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”.类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？ 与数的相反数是类似，我们规定：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此和互为相反向量，于是. 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 由两个向量和的定义易知 即任意向量与其相反向量的和是零向量.这样，如果互为相反向量，那么，，. 新知探索 向量加上的相反向量，叫做与的差，即. 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 我们看到，向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 思考2：结合着向量加法的学习，思考向量减法的几何意义是什么呢？ 新知探索 如图，设，，，连接， 由向量减法的定义知. 在四边形中中，，所以四边形是平行四边形. 所以. 新知探索 因此，我们得到的作图方法. 如图，已知向量，在平面内任取一点，作，，则即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.(即减向量的终点指向被减向量的终点) 差向量的方向：共起点，尾尾相连，后指前. 新知探索 (1)如果从的终点到的终点作向量，那么所得向量是 (2)由图知，当与同向时，先作，然后作，则，的方向与的方向相同，且，如下图(1)所示. 当与反向时，先作，然后作，则，的方向与的方向相同，且，如下图(2)所示. 思考3：(1)在下图中，如果从的终点到的终点作向量，那么所得向量是什么？ (2)如果改变下图中向量的方向，使，怎样作出呢？ (1) (2) 新知探索 辨析1：判断正误. 1.相反向量就是方向相反的向量. ( ) 2.向量与是相反向量. ( ) 3.两个相等向量之差等于零. ( ) 4.向量与向量的差和与的差互为相反向量. ( ) 答案：×，√，×，√. 例3.如图(1)，已知向量，，求作向量. 例析 (1) 解：作法：如图(2)，在平面内任取一点， 作，，，. 则. (2) 例4.如图，在□中，，，你能用表示向量，吗？ 例析 解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道 同样，由向量的减法，知 练习 题型一：向量的减法运算 例1.如图，已知向量不共线，求作向量. 解：(解法一)如图1所示，在平面内任取一点，，，则，再作，则即为所求. (解法二)如图2所示，在平面内任取一点，，，则，再作，连接则即为所求. 图1 图2 练习 变1.如图所示，为内一点，，，，求作： (1)向量；(2)向量. 解：(1)以，为邻边作□，如图1，连接，，则，则即为所求. 图1 练习 变1.如图所示，为内一点，，，，求作： (1)向量；(2)向量. 解：(2)如图2，以，为邻边作□，连接，则连接，则即为所求. 图2 练习 方法技巧： 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如，可以先作，然后作即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 练习 题型二：向量减法的运算及几何意义 例2.化简： (1)(2) 解：(1)解法一：原式 解法二：原式 (2)解法一：原式 解法二：原式 . 练习 变2.(1)化简下列各式： ①②③④其中结果为的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D. 解：① ② ③ ④以上各式化简后结果都是，故选D. 练习 变2.(2)设为平行四边形所在平面内一点，则①②③中成立的序号为__________. 答案：②. 解：若成立，则，即，显然不成立，故①错误；若成立，则即，由平行四边形知，故②正确；若成立，则即，显然不成立，故③错误. 练习 方法技巧： 向量减法运算的常用方法 常用方法 可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算 运用向量减法的三角形法则时，要注意两个向量要有共同的起点 引入点，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一 练习 题型三：用已知向量表示其他向量 例3.如图所示，四边形是平行四边形，是该平行四边形内一点，且,试用向量表示，，. 解：∵四边形是平行四边形， ∴,, 练习 变3.如图所示，已知，，，试用表示以下向量. (1)(2)；(3)；(4)；(5). 解：(1) (2) (3