1.5.1 数量积的定义及计算 教案 2021-2022学年湘教版（2019）高中数学必修第二册

1．5　向量的数量积 1．5.1　数量积的定义及计算 新课程标准解读 核心素养 1.通过物理中力的做功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积 数学抽象、数学运算 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义 直观想象 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 数学运算 教学设计 一、目标展示 二、情境导入 我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功．如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F| N，小车在水平面上位移s的大小为|s| m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝|F||s|cos θ. [问题]　(1)显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？ (2)给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由． 三、合作探究 知识点一　向量的数量积 1．定义：设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积． 2．重要结论：a·b＝0⇔a⊥b． 3．运算律：设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)与数乘的结合律：a·(λb)＝λ(a·b)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c． 已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ，若a·b<0，则θ是钝角对吗？ 知识点二　投影 1．投影向量，投影长 设a，b是非零向量，作向量＝a，＝b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则＝＋，其中与共线． 我们把称为在方向上的投影向量，投影向量的长度||＝|||cos_α|称为投影长． 2.在方向上的投影 ||cos α刻画了投影向量的大小和方向，称为在方向上的投影． 3．数量积的几何意义 a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos_α的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积． 两个非零向量a，b，其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是否相同？ 四、精讲点拨 [例1]　(链接教科书第35练习1题)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－2b)． [例2]　在边长为1的正三