1.3 向量的数乘 教案 2021-2022学年湘教版（2019）高中数学必修第二册

1．3　向量的数乘 新课程标准解读 核心素养 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义 数学抽象 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义 数学运算 3.理解两个向量共线的含义 逻辑推理 教学设计 一、目标展示 二、情境导入 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？ [问题]　类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”你能猜想实例中a＋a＋a的结果吗？ 三、合作探究 知识点一　向量的实数倍及数乘运算律 1．向量的数乘：求向量的实数倍的运算称为向量的数乘，一般地实数λ与向量a的乘积是一个向量记作λa，称为a的λ倍，它的长度|λa|＝|λ|·|a|． (1)当λ≠0，且a≠0时，λa的方向 (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0.　　　 2．数乘运算律 设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则 (1)对实数加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya； (2)对实数乘法的结合律：x(ya)＝(xy)a； (3)对向量加法的分配律：x(a＋b)＝xa＋xb． 1．实数与向量可以相乘，同样实数与向量能相加、减吗？ 2．向量的线性运算的结果是实数还是向量？ 知识点二　共线向量 1．定义：当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行，并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行)，记作a∥b. 2．共线向量定理 两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍．即a∥b⇔存在实数λ，使得b＝或a＝． 3．向量a，b的夹角 设a，b是两个非零向量，任选一点O，作＝a，＝b，则射线OA，OB所夹的最小非负角∠AOB＝θ称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 若向量a是非零向量，则向量与向量a的方向如何？ 四、精讲点拨 [例1]　(1)化简下列各式： ①3(6a＋b)－9； ②－2. (2)设x是未知向量，解方程3x－2(x－a)＝0. [例2]　(链接教科书第19页例5)如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，. [母题探究] 1．(变设问)本例条