6.2.4向量的数量积（导学案）-【新教材精创】 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)

《6.2.4向量的数量积》 导学案 参考答案 新课导学 （一）新知导入 【探究】 通过现实情境马拉爬犁，研究当力和位移存在夹角时，如何研究力对物体所做的功，通过力的分解，由于垂直位移方向上的分力对物体不做功，最终力对物体所做的功等于位移方向上的分力对物体所做的功，，向量的数量积具有相同的运算。 （二）向量的数量积 1.向量的夹角 【探究】力、位移都是矢量,夹角为. 定义 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角 图示 范围 特殊 情况 a与b同向 a与b反向 a与b垂直，记作ab 【做一做1】 解析：平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°. 答案：A 2.向量的数量积 【探究】由物理知识容易得到W=|F||s|cos θ,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,其中功是标量. 定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积均为0 特别提醒： (1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”; (2)数量积的结果为数量,不再是向量。 【做一做】a·b＝|a||b|cos θ=2cos30°=2=3.答案：C 3.投影向量 【探究1】线段A1B1叫做线段AB在直线l上的投影线段. 【探究2】|A1B1|=|AB|cos. （1）如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到， 我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. （2）如图，在平面内任取一点O，作=a,=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则=|a|cose. 特别地，当=0时，=|a|e. 当=时，=|a|e. 当=时，=0. 【做一做】解析：c=|a|cos45°e=2e=e.答案：e 4.向量的数量积的性质 已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角，e为与b方向相同的单位向量. 【探究1】a·e=|a||e|cos=|a|cos，a·a=|a|·|a|cos 0°＝|a|2. 【探究2】a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0，θ＝90°，a⊥b. 【探究3】当θ=0°时，a·b=|a|·|b|;当θ＝180°时，a·b=－|a|·|b|. 【探究4】设向量a，b的夹角为θ，当0°≤θ<90°时，a·b>0，即数量积为正数，当θ＝90°，a·b＝0，即数量积为0；当90<θ≤180°时，a·b<0，即数量积为负数． 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=|a|cos. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. (4)a·a＝a2=|a|2或|a|＝＝. (5)|a·b|≤|a||b|. (6)cos θ＝. 5.数量积的运算律 【探究】 向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 对数乘的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 特别提醒： （1）数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同． （2）类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a 【辩一辩】答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 【做一做1】解析：∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|. 答案：B 【做一做2】解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4， ∴a·b＝1. 答案：A （三）典型例题 【例1】解：①因为∥，且方向相同，所以与的夹角是0°， 所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9. ②因为与的夹角为60°，所以与的夹角为