第01讲 平行四边形的性质-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（华东师大版）

第1讲平行四边形的性质 目标导航 1. 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3. 理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质． 4.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题. 知识精讲 知识点01 平行四边形定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 知识点02 平行四边形的性质 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角线互相平分； （1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 【即学即练1】如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC． 【解析】 证明：∵ 在ABCD中，CD∥AB， ∠DFA＝∠FAB． 又∵ AF是∠DAB的平分线， ∴ ∠DAF＝∠FAB， ∴ ∠DAF＝∠DFA， ∴ AD＝DF． 同理可得EC＝BC． ∵ 在ABCD中，AD＝BC， ∴ DF＝EC． 【总结】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件． 【即学即练2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC． （1）求证：OE=OF； （2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD=OB，DC∥AB， ∴∠FDO=∠EBO， 在△FDO和△EBO中 ∵ ∴△FDO≌△EBO（AAS）， ∴OE=OF； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，OA=OC， ∵EF⊥AC， ∴AE=CE， ∵△BEC的周长是10 ∴BC+BE+CE=BC+AB=10， ∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+AB）=20． 知识点03 平行线的性质定理 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. 2．平行线性质定理及其推论 夹在两条平行线间的平行线段相等. 平行线性质定理的推论： 夹在两条平行线间的垂线段相等. 【即学即练3】（1）如图1，已知△ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线； （2）如图2，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等； （3）如图3，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线． 【点拨】（1）根据三角形的面积公式，只需过点A和BC的中点画直线即可； （2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明； （3）结合（1）和（2）的结论进行求作． 【解析】 解：（1）取BC的中点D，过A、D画直线，则直线AD为所求； （2）证明：∵l1∥l2， ∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h． ∴S△EGH=GH×h，S△FGH=GH×h， ∴S△EGH=S△FGH， ∴S△EGH-S△GOH=S△FGH-S△GOH， ∴△EGO的面积等于△FHO的面积； （3）解：取BC的中点D，连接MD，过点A作AN∥MD交BC于点N，过M、N画直线，则直线MN为所求． 【总结】此题主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等． 知识点04 平行四边形的面积 【即学即练4】如图，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E． （1）求证：BE=CD； （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积． 【点拨】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可证明；（2）证明△ABE为等边三角形，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF与△ECF的面积相等，平行四边形ABCD的面积=△ABE的面