第07讲 勾股定理与几何最值问题突破技巧-2021-2022学年八年级数学下册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）

第07讲 勾股定理与几何最值问题突破技巧（原卷版） 第1部分 专题典例剖析及针对训练 类型一 立体图形表面的最短路线问题 典例1：如图，正四棱柱的底面边长为1.5cm，侧棱长为4cm，求一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处的最短路程的长。 A1 B1 C1 D1 D A B C 典例2 在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为　　（π取3） 针对训练1： 1.如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 2．（2020秋•罗湖区校级期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 　　dm． 3．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要　 　cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要　　 cm． 类型二 将军“饮马问题”中的最短路线 典例3 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ A B 小河 东 北 牧童 小屋 类型三 求一条线段的最小值 典例4 （2020秋•遂宁期末）如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 针对训练3 4．（2020秋•仪征市期中）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（　　） A．14.8 B．15 C．15.2 D．16 类型四 利用配方法求最值 典例5 （2021•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为 　　． 针对练习4 5．（2020秋•江都区期末）已知点P（3m，4﹣4m）为平面直角坐标系中一点，若O为原点，则线段PO的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 第二部分 专题培优训练 1．（2021•柳南区校级模拟）如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（2021春•饶平县校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 3．（2014•枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为　（33）　cm． 4．（2021秋•青岛期末）如图，点M为线段AB上的一个动点，在AB同侧分别以AM和BM为边作等边△AMC和等边△BMD，若AB＝12，则线段CD的最小值为 　　． 5．（2021秋•锦江区校级期末）如果一个直角三角形的两边长分别是3，4，那么这个直角三角形斜边上的高长最小值为 　　． 6．（2020秋•霸州市期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，BH平分∠ABC，点P，D分别是BH和AB上的任意一点，设PA+PD＝m． （1）连接CD交BH于点E，则m　　CD（填表示相等或大小关系的符号）； （2）若BA＝BC＝5，AC＝6，BH＝4，则m的最小值是 　　． 7．（2021秋•大东区期中）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是　　． 8．（2021•永嘉县校级模拟）如图，AB＝1，以AB为斜边作直角△ABC，以△ABC的各边为边分别向外作正方形，EM⊥KH于M，GN⊥KH于N，则图中阴影面积和的最大值为　　． 9．（2021春•海淀区校级期末）A（0，a），B（3，5）是平面直角坐标系中的两点，线段AB长度的最小值为 　　． 10．如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的值取3） 11．（2021秋•吉安期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD