第05讲 勾股定理中蕴含的数学思想-2021-2022学年八年级数学下册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）

第04讲 勾股定理中蕴含的数学思想（原卷版） 第一部分 勾股定理中蕴含的数学思想 专题一 方程思想 专题诠释：运用勾股定理解决求线段长的时候，常常考虑在一个直角三角形中，利用勾股定理，列出方程求出线段的长，这就是方程思想． 典例1：如图18.1-23，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB. 图18.1-23B A C D . 针对训练1： 1．如图，在△ABC中，BC＝14，AC＝13，AB＝15，求S△ABC． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，AD＝13，AB＝2，求S△ABD. 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD，BE是中线，BE＝2，AD＝5，求AB的长． 专题二 分类讨论思想 专题诠释：如果被研究的问题包含多种情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法称为分论思想，它是一种重要的解题策略． 典例2 在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，求BC的长． 典例3 如图，正四棱柱的底面边长为1.5cm，侧棱长为4cm，求一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处的最短路程的长。 A1 B1 C1 D1 D A B C 针对训练2 4．已知一个直角三角形的两条边长分别是3和4，则第三边长为_______. 5．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6，若点P在直线AC上（不与A，C重合），且∠ABP＝30°，求CP的长． 专题三 转化思想 专题诠释：数学的解题过程实质上就是转化过程，即将“未知”转化为“已知”，将“复杂”转化为“简单”的过程，本章中，求立体图形表面最短距离的时候，常考虑通过将图形的表面展开，将立体图形问题转化为平面图形问题解决. 典例4 如图，一只壁虎在底面半径为20cm，高为30cm的圆柱下底边A处，发现在它正上方圆柱边缘的B处有一只害虫，为捕捉这只害虫，它故意不走直线，而绕着圆柱沿一条螺旋路线从背后对害虫进行突然袭击，偷袭成功，得到一顿美餐，请问壁虎捕捉到害虫至少要爬行多少cm? 针对训练3 6．（2021秋•海阳市期末）如图，圆柱形玻璃容器高21cm，底面周长为48cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 　 　cm． 7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A．B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 ； 第二部分 专题提优训练 1．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝13，AB＝15，求S△ABC． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BD＝2，AD＝8，求CD的长. 3．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为20m,15m，现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以20m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长． 4．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2 AC，求BC的长． 5.如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体 的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为 多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $第04讲 勾股定理中蕴含的数学思想（解析版） 第一部分 勾股定理中蕴含的数学思想 专题一 方程思想 专题诠释：运用勾股定理解决求线段长的时候，常常考虑在一个直角三角形中，利用勾股定理，列出方程求出线段的长，这就是方程思想． 典例1：如图18.1-23，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB. 图18.1-23B A C D . 思路指引：本题BD＝10，BC长可计算得到，AD＋AC＝15，因此我们可以设AD或AC长为x，用已知数或代数式表示出Rt△ABC的三边长，借助勾股定理，列出方程求出x的值． 解：设AD＝x米，则AB为（10＋x）米，AC为（15－x）米，BC为5米， ∴(x＋10)2＋52＝(15－x)2，解得x＝2，∴10＋x＝12（米） 题眼直击：敏锐地发现两猴子所经路程都是15m作为列方程