专题6.2.2平面向量的数量积(精讲）-2021-2022学年高一数学金典同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）

考点1. 平面向量数量积的含义与物理意义 【知识点的知识】 1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π． 2、向量的数量积概念及其运算： （1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做 即：＝||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0． 注意： ① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定； ②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替； ③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π． （2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0 （3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2， 3、向量的夹角公式： 4、向量的模长： 5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积． 例题精讲 【例题1】 （2021秋•工农区校级期末）的三个内角，，所对的边分别为，，，，，，的周长等于　　 A． B． C． D． 【例题2】 （2021秋•湖北期末）在中，，，点满足，则　　 A． B． C．3 D．6 【例题3】 （2021秋•大通县期末）在边长为3的菱形中，，，则　　 A． B． C． D． 【例题4】 （多选题）（2021秋•罗湖区期末）已知点是边长为1的正方形的中心，则下列结论正确的为　　 A． B． C． D． 【例题5】 （多选题）（2021秋•泰州期末）在平行四边形中，若，，则　　 A． B． C． D．若， 【例题6】 （2021秋•荆州期末）如图，在矩形中，，为边的中点，若为折线段上的动点，则的最小值为 　　． 【例题7】 （2021秋•门头沟区期末）在梯形中，，，，，是的中点，则　　． 举一反三 【变式1】 （2021秋•江门月考）在边长为3的等边中，若，则　　 A． B． C．3 D．6 【变式2】 （2021秋•孝感期中）已知四面体的所有棱长都等于，，分别是棱，的中点，则等于　　 A． B． C． D． 【变式3】 （2021秋•河南月考）在中，，，为的中点，，交于，则　　 A． B． C．3 D．6 【变式4】 （2021秋•全州县校级月考）已知的外心为，，则　　 A．11 B．10 C．20 D．21 【变式5】 （2021秋•绿园区校级月考）在中，，，，，且点是的中点，则　　 A． B． C． D． 【变式6】 （2021秋•凯里市校级期中）如图所示，在等腰梯形中，，为线段的中点，，，，则　　 A． B． C． D． 【变式7】 （2021秋•北海月考）在中，，，是中点，则　　 A． B．1 C． D． 【变式8】 （多选题）（2021秋•鼓楼区校级期中）数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一条直线上，与的比值为定值，该直线被称为欧拉线．若，，则下列各式正确的是　　 A． B． C． D． 【变式9】 （多选题）（2021秋•兴宁市月考）在中，是斜边上的高，如图，则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 【变式10】 （2021秋•菏泽期末）已知边长为1的正六边形，中心为，则　　． 【变式11】 （2021秋•唐山期末）中，为的中点，，，则　　． 【变式12】 （2021秋•黄浦区期末）若为内一点，则　　． 考点2. 数量积表示两个向量的夹角 【知识点的知识】 我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了． 例题精讲 【例题1】 （2021秋•巴中月考）在矩形中，，，若，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【例题2】 （2021秋•南昌月考）已知是的外心，且，则　　 A． B． C． D． 【例题3】 （2021•章丘区模拟）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为　　 A． B． C． D． 【例题4】 （2021•汉台区校级模拟）若非零向量，满足且，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【例题5】 （2021•江西模拟）已知两个单位向量，的夹角为，则下列向量是单位向量的是　　 A． B． C． D． 【例题6】 （2021春•雨花区校级月考）若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为　　． 【例题7】 （2021春•朝阳区校级月考）已知，，，则向量与的夹角为　　． 【例题8】 （2021春•渝中区校级