7.3 复数的三角形式-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）

高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册) 7.3复数的三角形式 【考点梳理】 考点一、复数的三角形式的概念 1.复数的辐角 (1)定义：以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi的辐角。 (2)辐角主值 [0，2)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi的辐角主值，记作arg z，即0≤arg z<2。非零复数与它的模和辐角主值一一对应。 (3)常用的有关辐角主值的结论 当aR+ 时arg a=0 ，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。 2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。 3.复数的三角形式 复数z=a+bi可以用复数的模r和辐角θ来表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中，，。r(cosθ+isinθ)叫作复数z的三角形式，而a+bi叫作复数z的代数形式。 考点二、复数的三角形式的乘除法 1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式 (cosθ2+isin。则 。这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n个复数相乘： =。 因此，如果 就有 [。 这就是说，复数的 次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍。 2.复数的除法 设 则z₁除以z₂的商：)]。 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。 【题型归纳】 题型一：复数的三角表示 1．（2021·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）. A． B． C． D． 2．（2021·全国·高一课时练习）复数的三角形式是（ ） A． B． C． D． 3．（2021·上海市延安中学高一期末）的三角形式是（ ） A． B． C． D． 题型二：复数的辅角 4．（2021·全国·高二课时练习）复数的辐角主值是（ ） A．－40° B．310° C．50° D．130° 5．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________. 6．（2021·全国·高二单元测试）当实数k取什么值时，复数的辐角主值是？ 题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义 7．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足 ，则的辐角为（ ） A． B． C． D． 8．（2022·全国·高三专题练习）设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______． 9．（2021·全国·高一课时练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【双基达标】 一、单选题 10．（2022·吉林吉林·高三期末（理））若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（ ） A． B． C． D． 11．（2021·全国·高一课时练习）已知的三角形式为，则的三角形式是（ ）. A． B． C． D． 12．（2021·全国·高三阶段练习）欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，有拓扑学中的欧拉多面体公式、初等数论中的欧拉数论公式等其中最著名的是复变函数中的欧拉幅角公式——把复数、指数函数与三角函数联系起来（，自然对数的底数，虚数单位）．若复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 13．（2021·福建安溪·高三期中）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（ ） A． B． C． D． 【高分突破】 一：单选题 14．（2021·广东惠州·高一期中）已知，则（ ） A． B． C． D． 15．（2021·吉林·长春十一高高一阶段练习）任何一个复数 (其中为虚数单位)都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（ ） （1） （2）当时， （3）当时， （4）当时，若n为偶数，则复数为纯虚数 A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2022·全国·高三专题练习（文））设(其中为虚数单位)，则的共轭复数是（　　） A． B． C． D． 17．（2021·广东惠州·高一期末）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点