山西省长治市第二中学校2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷

2021—2022学年第一学期高二期末考试数学试题 【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】 第Ⅰ卷 （选择题 60分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的焦点坐标为 A．和 B．和 C．和 D．和 2. 有一机器人的运动方程为,(是时间,是位移),则该机器人在时刻时的瞬时速度为 A. B. C. D. 3．若方程表示圆，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 4．如图，在空间四边形中， A． B. C. D. 5．设等差数列的前项和为，若，，则 A． B． C． D． 6．函数的图象如图所示，则的解析式可以为 A． B． C． D. 7．已知等差数列的前项和为，，，当取最大时的值为 A. B． C. D. 8．已知实数满足,且则 的大小关系为： A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列结论正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10．已知等比数列的各项均为正数，，，数列的前项积为，则 A．数列单调递增 B．数列单调递减 C．的最大值为 D．的最小值为 11．已知动点是双曲线上的点，点是的左、右焦点，是双曲线的左、右顶点，下列结论正确的是： A．双曲线的离心率为； B．点在双曲线的左支时，的最大值为； C．点到两渐近线的距离之积为定值； D．若是的面积，则为定值. 12．若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数都满足和恒成立，则称直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，下列命题正确的是： A．与有“隔离直线”； B．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围为； C．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是； D．和之间存在唯一的“隔离直线” ． 第Ⅱ卷 （非选择题 90分） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置。 13．设直线，直线，若，则_______. 14．已知，若，则等于_______． 15．椭圆的右焦点是,两点是椭圆的左顶点和上顶点，若是直角三角形，则椭圆的离心率是________． 16．几位大学生响应国家创业号召，开发了一款面向中学生的应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”活动．这款软件的激活码为下面数学题的答案：记集合……，例如：，若将集合的各个元素之和设为该软件的激活码，则该激活码应为________． 四、解答题:本大题共70分。 17．（本小题10分） 已知各项均不相等的等差数列的前四项和，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项的和 。 18．（本小题12分） 已知函数， （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值与最小值； 19．（本小题12分） 如图，在四棱锥中，侧面底面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，点为的中点． (1)证明：平面 (2)求二面角的余弦值． 20．（本小题12分） 设数列的前项和为，，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：对一切正整数，有． 21．（本小题12分） 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，证明：． 22．（本小题12分） 在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线,分别过曲线上的两点，做曲线的两条切线，且交于点，与直线交于两点 （1）求曲线的方程； （2）求面积的最小值． 数学答案 1. 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D A D C B A AB BC ACD ABD 1. 填空题 13.； 14. ；15. ；16．376. 17． 解：(1)设公差为d，由已知得 解得d＝1或d＝0(舍去)，所以a1＝2，所以an＝n＋1. ………………… （6分） (2)因为＝－， 所以Tn＝＋＋…＋－＝－＝，…………………（12分）19. (1)证明：如图(1)，设中点为，连接，， 因为，分别为，的中点，所以 且，又因为，， 所以　　　………………………………（2分） 又因为，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. ………………………………………………（4分） (2)方法一：如图(2)取中点，连接，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，因为平面平面，且平面，所以平面，且 …………………