6.3.2 三项式系数的性质（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

(建议用时：40分钟) 一、选择题 1．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 2　　2 3　　4　　3 4　　7　　7　　4 5　　11　　14　　11　　5 … A．20 B．21 C．22 D．23 答案　C 解析　观察题图可知，从第三行开始，每一行除开始和末尾的两个数外，中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和，当a＝7时，b的“两肩”上的第一个数为6，第二个数为16，所以b＝6＋16＝22.故选C项． 2．若n(n∈N*)的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　) A．10 B．20 C．30 D．120 答案　B 解析　因为C＋C＋…＋C＝2n＝64，所以n＝6，所以该式为6，其展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3.所以常数项为T4＝C＝20.故选B项． 3．若n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是(　　) A．－462 B．462 C．792 D．－792 答案　D 解析　因为n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以n＝12，故12的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cx12－rr＝(－1)rCx12－2r，令12－2r＝2，得r＝5，所以展开式中含x2项的系数是(－1)5C＝－792.故选D项． 4．在5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案　B 解析　5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r·r＝(－a)rCx5－2r，令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C＝10.故选B项． 5．(多选)若(2x＋1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，x∈R，则(　　) A．a0＝1 B．a0＝0 C．a0＋a1＋a2＋…＋a10＝310 D．a0＋a1＋a2＋…＋a10＝3 A答案　C 解析　因为(2x＋1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，x∈R，所以令x＝0，得a0＝1，A项正确；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝310，C项正确．故选AC项． 二、填空题 6．在(a＋b)8的展开式中，二项式系数最大的项为_______________________ ____________________________________； 在(a＋b)9的展开式中，二项式系数最大的项为________. 解析 因为(a＋b)8的展开式中有9项，所以中间一项的二项式系数最大，该项为Ca4b4＝70a4b4.因为(a＋b)9的展开式中有10项，所以中间两项的二项式系数最大，这两项分别为Ca5b4＝126a5b4，Ca4b5＝126a4b5. 答案 70a4b4　126a5b4与126a4b5 7．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为________. 解析 因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝512. 答案 512 8．已知C＝C，设(3x－4)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，则a1＋a2＋…＋an＝________. 解析 因为C＝C，所以n＝10，所以(3x－4)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10.令x＝1，可得(3－4)10＝1＝a0，令x＝2，可得(6－4)10＝210＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，所以a1＋a2＋…＋a10＝210－1＝1 023. 答案 1 023 三、解答题 9．(1＋3x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 解析 T6＝C(3x)5，T7＝C(3x)6， 依题意有C·35＝C·36，解得n＝7， 所以(1＋3x)7的展开式中，二项式系数最大的项为T4＝C·(3x)3＝945x3和T5＝C·(3x)4＝2 835x4. 设第r＋1项系数最大， 则有解得5≤r≤6. 因为r∈{0,1,2，…，7}，所以r＝5或r＝6. 所以系数最大的项为T6＝5 103x5，T7＝5 103x6. 10．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)各项系数之和； (2)所有奇数项系数之和； (3)系数绝对值的和． 解析 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x