6.2.4 向量的数量积（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

(建议用时：40分钟) 1．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b＝(　　) A．1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　由题意得a·b＝|a||b|cos ＝1×2×＝1.故选A项． 2．已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a－2b|＝(　　) A. B.2 C.4 D.12 答案　B 解析　由题意得|a－2b|2＝(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝|a|2－4|a||b|cos 60°＋4|b|2＝4－4×2×1×＋4＝4，所以|a－2b|＝2.故选B项． 3．(多选)下面给出的关系式中，正确的是(　　) A．0a＝0 B．a·b＝b·a C．a2＝|a|2 D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c BC答案　D 解析　因为数与向量相乘的积为向量，即0a＝0，所以A项错误；向量的数量积运算满足交换律，所以a·b＝b·a，所以B项正确；根据数量积的定义知a2＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以a2＝|a|2，所以C项正确；向量的数量积运算满足分配律，所以D项正确．故选BCD项． 4．已知e1，e2是单位向量，若|e1－4e2|＝，则e1与e2的夹角为(　　) A．30° B.60° C.90° D.120° 答案　B 解析　设e1与e2的夹角为θ，由题意知|e1|＝|e2|＝1，|e1－4e2|2＝13，所以|e1－4e2|2＝|e1|2－8e1·e2＋16|e2|2＝13，解得e1·e2＝，所以1×1×cos θ＝，又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.故选B项． 5．在△ABC中，D为边BC的中点，且·＝5，||＝6，则||＝(　　) A．2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　因为D为边BC的中点，所以＝(＋)，＝＝(－)，所以·＝(＋)·(－)＝(||2－||2)＝(36－||2)＝5，解得||＝4.故选C项． 6．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a与向量b的夹角为，当λ＝________时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直． 解析 由题意得|b|＝1，a·b＝2×1×cos＝－1.因为λa＋b与a－3b互相垂直，所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，所以λ＝. 答案 7．(2019·全国Ⅲ改编)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则向量a与向量c的夹角θ的余弦值为________． 解析 因为c＝2a－b，a·b＝0，所以a·c＝2a2－a·b＝2，|c|2＝4|a|2－4a·b＋5|b|2＝9，所以|c|＝3，所以cos θ＝＝＝.故夹角θ的余弦值为. 答案 8．已知|a|＝4，|b|＝5. (1)当a∥b时，求a与b的数量积； (2)当a⊥b时，求a与b的数量积； (3)当a与b的夹角为60°时，求a与b的数量积． 解析 (1)因为a∥b，所以若a与b同向，则a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向，则a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，a·b＝|a||b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a||b|cos 60°＝4×5×＝10. 9．已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝3，记m＝3a－2b，n＝2a＋kb. (1)若m⊥n，求实数k的值； (2)当k＝时，求向量m与n的夹角θ. 解析 (1)由题意得a·b＝－3，因为m⊥n，所以m·n＝(3a－2b)·(2a＋kb)＝6a2＋(3k－4)a·b－2kb2＝24－3(3k－4)－18k＝0，解得k＝. (2)当k＝时，n＝2a＋b，所以m·n＝－36，因为|m|＝6，|n|＝4，所以cos θ＝＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝. 10．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　) A．a＋2b B.2a＋b C．a－2b D.2a－b 答案　D 解析　由已知可得a·b＝|a||b|cos 60°＝1×1×＝.因为(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2×1＝≠0，所以A项不符合题意；因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0，所以B项不符合题意；因为(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2×1＝－≠0，所以C项不符合题意；因为(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0，所以D项符合题意．故选D项． 11．已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为________． 解析 因为向量c与a＋b共线，所以设c＝t(a＋b)(t∈R)，所以a＋c＝(t＋1)a＋tb，所以(a＋c)