6.2.3 向量的数乘运算（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

(建议用时：40分钟) 1．给出下列三个结论： ①－＝； ②00＝0； ③当λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反． 其中正确结论的个数是(　　) A．0 B.1 C．2 D.3 答案　C 解析　①－＝，所以①错误；②00＝0，所以②正确；③由λμ＜0可得λ，μ异号，所以λa和μa中，一个与a同向，另一个与a反向，所以λa与μa反向，所以③正确．故选C项． 2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B.A，B，C C．B，C，D D.A，C，D 答案　A 解析　因为＝＋＝2a＋4b，而＝a＋2b，所以＝2，即与方向相同，又两向量有公共点B，故A，B，D三点共线．故选A项． 3．在平行四边形ABCD中，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ－μ＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　因为＝＋＝－＋＝－，所以λ－μ＝.故选D项. 4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2＋＋＝0，那么(　　) A.＝ B.＝2 C.＝3 D.2＝ 答案　A 解析　因为2 ＋＋＝0，而＋＝2，所以2＋2＝0，即＋＝0，所以＝.故选A项． 5．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，对角线AC，DB相交于点O，若＝a，＝b，则＝(　　) A．－a－b B.a＋b C.a＋b D.a－b 答案　C 解析　因为AB∥CD，且AB＝2CD，所以△DOC∽△BOA，所以AO＝2OC，则＝＝(＋)＝＋＝a＋b.故选C项． 6．已知|a|＝4，b与a的方向相反，且|b|＝2，a＝mb，则实数m＝________. 解析 由题意可得m＝－＝－2. 答案 －2 7．在△ABC中，＝，P是直线BN上的一点．若＝m＋，则实数m的值为________． 解析 方法一　由＝，得＝.设＝k，因为＝＋＝＋k＝＋k(－)＝(1－k)＋，且＝m＋，所以可得解得k＝2，m＝－1. 方法二　由＝，得＝5，所以＝m＋＝m＋2，由P，B，N三点共线得m＋2＝1，则m＝－1. 答案 －1 8．化简下列各式． (1)3(6a＋b)－9； (2) ； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. 解析 (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.　 (2)原式＝. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. 9．判断下列各小题中的向量a与向量b是否共线． (1)a＝－2e，b＝3e； (2)a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2(e1，e2不共线)； (3)a＝2e1＋e2，b＝e1＋2e2(e1，e2不共线)． 解析 (1)因为a＝－2e，b＝3e，所以b＝－(－2e)＝－a.所以a与b共线． (2)因为a＝e1－e2，所以b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a.所以a与b共线． (3)假设a与b共线，则存在唯一一个实数λ，使b＝λa成立，即e1＋2e2＝λ(2e1＋e2)，整理得(1－2λ)e1＋(2－λ)e2＝0.由于e1与e2不共线，所以e1≠0，e2≠0.所以1－2λ＝0，且2－λ＝0，即λ＝且λ＝2(矛盾)．所以a与b不共线． 10．若5＋3＝0，且||＝||，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B.菱形 C．矩形 D.等腰梯形 答案　D 解析　由5＋3＝0知，∥且||≠||，所以此四边形为梯形．又||＝||，所以梯形ABCD是等腰梯形．故选D项． 11．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________． 解析 设＝k，0≤k≤1，则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k，因为＝λ＋μ，所以所以t＝λ－μ＝3k.又0≤k≤1，所以当k＝1时，t取得最大值3.故t＝λ－μ的最大值是3. 答案 3 12．已知点O，A，B为定点，点P关于点A的对称点为点Q，点Q关于点B的对称点为点R.设＝a，＝b，用a，b表示. 解析 由题意得＝＋＝2 ＋2＝2(＋)＋2(＋)＝2(＋)＋2(＋)＝2＋2(a－b)，所以＝－2(a－b)＝2(b－a)． 13．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且＝x，＝y，则3x＋y的最小值为________． 解析 根据条件知＝，＝.又＝＋，所以＝＋.又M，G，N三点共线，所以＋＝1.由题意知x＞0，y＞0，所以3x＋y＝(3x＋y)·＝＋＋≥＋2＝， 当且仅当＝，即y＝x时，等号成立．故3x＋y的最小值为. 答案 14．如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是OB的三等分点且靠近点B，DC和OA交于点E，设＝a，＝b. (1)用a，b