6.4.3 第1课时 余弦定理（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

(建议用时：40分钟) 1．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝，c＝2，则A＝(　　) A．90° B.60° C.30° D.45° 答案　D 解析　已知△ABC中，a＝，b＝，c＝2，则a2＝b2＋c2－2bccos A，即2＝2＋4－4cos A，解得cos A＝，所以A＝45°.故选D项． 2．在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°，则BC的长为(　　) A. B. C.3 D. 答案　D 解析 由题意和余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋9－6＝7，则BC＝.故选D项． 3．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 答案　C 解析　由>0得－cos C>0，即cos C<0，所以C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．故选C项． 4．在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B＝(　　) A．1 B.3 C.2 D.4 答案　C 解析　由余弦定理得bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2.故选C项． 5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＝ac，则B的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由b2＝ac，得cos B＝＝＝＋≥，因为0＜B＜π，所以B∈.故选A项． 6．在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________. 解析 因为(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，所以a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.所以cos A＝＝＝－.因为0°<A<180°，所以A＝120°. 答案 120° 7．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________. 解析 由已知和余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，化简得15b－60＝0，即b＝4. 答案 4 8．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形． 解析 由题意和余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8，所以b＝2.又因为cos A＝＝＝，所以A＝60°，所以C＝180°－(A＋B)＝75°. 9．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，判断△ABC的形状． 解析 由b2＝ac及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos 60°，得ac＝a2＋c2－ac，所以(a－c)2＝0，所以a＝c，又B＝60°，所以△ABC为等边三角形． 10．(多选)在锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的可能取值是(　　) A．1 B.2 C. D. B答案　C 解析　若a为最大边，即a≥c＝2，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，所以2≤a<；若c为最大边，即a<2，则a2＋b2>c2，即a2>3，所以<a<2.综上，<a<.故选BC项． 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1,2cos C＋c＝2b，则△ABC周长的取值范围是________． 解析 由余弦定理得2cos C＝，将a＝1,2cos C＋c＝2b代入化简得(b＋c)2－1＝3bc，因为bc≤2，所以(b＋c)2－1≤32，解得b＋c≤2，所以a＋b＋c≤3，又b＋c＞a＝1，所以2＜a＋b＋c≤3，即△ABC周长的取值范围是(2,3]． 答案 (2,3] 12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos B＝，b＝3. (1)求a和c的值； (2)求cos(B－C)的值． 解析 (1)由·＝2，cos B＝得·＝cacos B＝2，所以ac＝6.由b＝3及余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，所以a2＋c2＝13，结合a>c，解得a＝3，c＝2. (2)由a＝3，b＝3，c＝2得cos C＝＝，sin C＝＝，由cos B＝得sin B＝＝，所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝. 13．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　) A．锐角三角形 B.直角三角形 C．钝角三角形 D.由增加的长度确定 答案　A 解析　设直角三角形的三边长分别为a，b，c，各边均增加x，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，设边c＋x所对的角为θ，则cos θ＞0，所以新三角形的最大角为锐角，即新三角形为锐角