6.4.1 6.4.2 平面向量的应用（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

(建议用时：40分钟) 1．一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两个力的大小都为5 N，则两个力的合力的大小为(　　) A．5 N B.5 N C．5 N D.5 N 答案　D 解析　根据向量加法的平行四边形法则，合力F的大小为×5＝5(N)．故选D项． 2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝(　　) A．(－1，－2) B.(1，－2) C．(－1,2) D.(1,2) 答案　D 解析　由物理知识知F1＋F2＋F3＋F4＝0，故F4＝－(F1＋F2＋F3)＝(1,2)．故选D项． 3．已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B.等边三角形 C．直角三角形 D.等腰直角三角形 答案　C 解析　＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)，所以·＝1×21＋(－3)×7＝21－21＝0，所以⊥，又||≠||，所以△ABC是直角三角形，但不是等腰直角三角形．故选C项． 4．质点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　) A．(－2,4) B.(－30,25) C．(10，－5) D.(5，－10) 答案　C 解析　由题意可设5秒后点P的坐标为P1(x，y)，则＝(x＋10，y－10)，由题意有　＝5v，即(x＋10，y－10)＝(20，－15)，所以解得故选C项． 5．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2.在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则AD的长等于(　　) A．2 B.4 C.6 D.8 答案　A 解析　因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2，所以AD＝2.故选A项． 6．在光滑地面上，用与水平方向成30°角的力F拉物体A，移动了10 m，若|F|＝10 N，则F对物体所做的功为________． 解析 W＝F·s＝|F||s|cos 30°＝10×10×＝50(J)． 答案 50 J 7．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，则此人的位移的大小是________m，方向是东偏北________． 解析 如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥， 则||＝＝60(m)，tan∠BOA＝＝，所以∠BOA＝60°. 答案 60　60° 8．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解析 设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，而||＝|a－b|＝＝＝＝2，所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC的长为. 9．一条河宽为400 m，一船从A处出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，求船到达B处所需的时间． 解析 如图所示，由题意可设|v1|＝12 km/h，|v2|＝20 km/h，则船实际航行的速度为v，则|v|＝＝16(km/h)＝(m/min)，所以船到达B处所需的时间t＝400×＝1.5(min)．所以船到达B处所需的时间为1.5 min. 10．在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足＋2＝0，若·＝，则∠BAC的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　取BC的中点O，连接AO，因为＋2＝0，即＝2，所以M为BC边上靠近C的三等分点.·＝·(＋)＝·＋·，因为AB＝AC，所以AO⊥BC，所以·＝0，又＝，所以·＝||2＝，所以||＝2，所以AB＝AC＝BC，即△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝.故选C项． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，M，N是BC上的两动点，M在N的左边，且MN＝2，则·的最小值为________． 解析 以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，4)，D(5,4)，设M(x,0)，则N(x＋2,0)，其中0≤x≤3，所以＝(x，－4)，＝(x－3，－4)，所以·＝(x，－4)·(x－3，－4)＝x2－3x＋16＝2＋，所以当x＝时，·的最小值为. 答案 12．已知AM是△ABC的边BC上的中线，求证：AM2＝(AB2＋AC2)－BM2. 证明 因为M是BC的中点，所以＝(＋)，＝，所以||2＝(||2＋||2)＋·.因为＝＋，＝＋＝－，所以·＝||2－||2.所以||2＝(||