6.3.1 平面向量基本定理（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

(建议用时：40分钟) 1．下列三种说法中，正确的是(　　) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无穷多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A．①② B.②③ C.①③ D.①②③ 答案　B 解析　只要平面内一对向量不共线，就可以作为表示该平面向量的一个基底，故①不正确，②正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以③正确．故选B项． 2．如图，设O是▱ABCD两对角线的交点，下列向量组： ①与； ②与； ③与； ④与. 其中可作为表示该平面其他向量基底的是(　　) A．①② B.①③ C.①④ D.③④ 答案　B 解析　②与，④与是共线向量，故不能作为基底．故选B项． 3．已知向量a与b是不共线的非零向量，实数x，y满足(2x－y)a＋4b＝5a＋(x－2y)b，则x＋y＝(　　) A．－1 B.1 C.0 D.3 答案　B 解析　由已知得(2x－y－5)a＋(－x＋2y＋4)b＝0.因为a与b不共线，且都是非零向量，所以所以x＋y＝1.故选B项． 4．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上靠近点B的一个三等分点，那么＝(　　) A.－ B.＋ C.＋ D.－ 答案　D 解析　在△CEF中，＝＋，因为点E是DC的中点，所以＝，因为点F是BC上靠近点B的一个三等分点，所以＝，所以＝＋＝＋＝－.故选D项． 5．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为________. 解析 若a，b能作为平面内的一个基底，则a与b不共线，即对任意k∈R，a≠kb，所以λ≠4.所以实数λ的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)． 答案 (－∞，4)∪(4，＋∞) 6．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________. 解析 设p＝xm＋yn＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，又p＝3a＋2b，所以由平面向量基本定理得解得所以p＝－m＋n. 答案 －m＋n 7．在△ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，用a，b表示向量＝________. 解析 由题意得，＝＝(－)＝＝－＝－a＋b. 答案 －a＋b 8．如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，. 解析 由题意知＝＝＝a，＝＝＝b，所以＝＋＝－＝a－b，＝＋＝a＋b. 9．如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线． 证明 由题意可知，BD是平行四边形ABCD的对角线，所以＝＋.因为M是AB的中点，所以＝2.因为BN＝BD，所以＝＝＋＝＋.因为＋＝1，所以M，N，C三点共线． 10．已知点P是△ABC所在平面内一点，边AB的中点为D，若2＝(1－λ)＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　) A．边AB所在的直线上 B．边BC所在的直线上 C．边AC所在的直线上 D．△ABC的内部 答案　C 解析　因为边AB的中点为D，所以＋＝2，因为2＝(1－λ)＋，所以＋＝(1－λ)＋－，所以＝－λ，所以A，C，P三点共线，因此点P一定在边AC所在的直线上．故选C项． 11．设向量，不共线(O为坐标原点)，若＝λ＋μ，且0≤λ≤μ≤1，则点C所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(　　) 答案　A 解析　当λ＝0时，＝μ，故点C所有可能的位置区域应该包括边界OB，故排除B，C，D项．故选A项． 12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，线段OD上有点M满足＝3，线段CO上有点N满足＝λ (λ>0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，试求实数λ，μ的值． 解析 依题意得＝b－a，＝a＋b，且＝＝(a－b)＝a－b，＝＋＝＝(a＋b)，所以＝＋＝b＋＝a＋b，＝＋＝a＋b＋＝a＋b，即＝(a＋b)＝a＋b， 由平面向量基本定理得解得 13．给定两个长度为1的向量，，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________． 解析 如图，设过A，B两点的直线为l1，过点C作直线l∥l1，交线段OA的延长线于点M，设与AB平行且与弧AB相切的直线为l2，设l2交线段OA的延长线于点D，设t＝，则x＋y＝t，显然“等值线”l可从l1平移至l2，由平面几何知识可知1＝≤≤＝2，故1≤t≤2，则x＋y 的最大值为2. 答案 2 14．如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M.设＝a，＝b. (1)试用向量a，b表示