6.3.5 平面向量基本定理及坐标表示（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

(建议用时：40分钟) 1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x的值为(　　) A．6 B.5 C.4 D.3 答案　C 解析　因为8a－b＝(6,3)，所以(8a－b)·c＝18＋3x＝30，所以x的值为4.故选C项． 2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，则|a－6b|＝(　　) A．4 B.2 C.8 D.8 答案　D 解析　由题意知a－6b＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|a－6b|＝＝8.故选D项． 3．(多选)设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论错误的是(　　) A．|a|＝|b| B.a·b＝ C．a－b与b垂直 D.a∥b AB答案　D 解析　|a|＝＝1，|b|＝＝，故A项错误；a·b＝1×＋0×＝，故B项错误；a－b＝，(a－b)·b＝×－×＝0，所以a－b与b垂直，故C项正确；因为1×－0×≠0，所以a与b不共线，故D项错误．故选ABD项． 4．已知向量a＝(3,2)，b＝(2，x)，若a⊥b，则|2a－3b|＝(　　) A．3 B.9 C.13 D.4 答案　C 解析　由a⊥b，得3×2＋2x＝0，解得x＝－3，故2a－3b＝(6,4)－(6，－9)＝(0,13)，则|2a－3b|＝＝13.故选C项． 5．已知M(2，－1)，N(1,3)，＝(3,4)，则向量，夹角θ的余弦值为(　　) A．－ B. C.－ D. 答案　A 解析　由题意得，＝(－1,4)，所以＝－＝(4,0)，则cos θ＝＝＝－.故选A项. 6．已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，当λ＝________时，a＋λb与a垂直． 解析 因为a＝(1,0)，b＝(1,1)，所以a＋λb＝(1,0)＋λ(1,1)＝(1＋λ，λ)．由于a＋λb与a垂直，所以1＋λ＋0＝0，解得λ＝－1.所以当λ＝－1时，a＋λb与a垂直． 答案 －1 7．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝________. 解析 如图所示，在正方形OABC中，A(0,1)，C(1,0)(两者位置可互换，不影响最终结果)，则＝(1,0)，＝(1，－1)，从而·＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1. 答案 1 8．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)． (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 解析 (1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，整理得x2－2x－3＝0，解得 x＝－1 或 x＝3.所以x的值为－1或3. (2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，所以|a－b|＝＝2；当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，所以|a－b|＝＝2.综上，|a－b|＝2或|a－b|＝2. 9．若向量a＝(－2,2)与b＝(1，y)的夹角为钝角，求y的取值范围． 解析 由a·b<0，得－2＋2y<0，所以y<1.当a与b反向时，设a＝λb(λ<0)，即(－2,2)＝(λ，λy)，所以所以y＝－1，此时a与b的夹角为180°，不合题意．所以y的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)． 10．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　) A. B.2 C.5 D.10 答案　C 解析　因为·＝(1,2)·(－4,2)＝0，故⊥.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝×||||＝××2＝5.故选C项． 11．已知平面向量a＝(，3)，b＝(sin 20°，cos 20°)，则向量a，b的夹角θ为________． 解析 因为a＝(，3)，b＝(sin 20°，cos 20°)，所以cos θ＝＝＝＝×sin 20°＋cos 20°＝sin 80°＝cos 10°，因为0°≤θ≤180°，所以向量a，b的夹角θ为10°. 答案 10° 12．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值． 解析 方法一　如图所示，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cos A＝，cos C＝，所以·＋·＋·＝·＋·＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－25. 方法二　如图所示，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．所以＝(－3,0)，＝(0,4)，＝(3，－4)．所以·＝－3×0＋0×4＝0，·＝0×3＋