专题1.3 数列-常规型-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题1.3 数列-常规型 1．证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an＋1＝an＋an＋2．若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法． 2．数列求和的常用方法： ①对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； ②对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； ③对于结构，利用分组求和法； ④对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和． 3．数列求和的常用方法：（设数列是等差数列，是等比数列） ①公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； ②错位相减法：数列的前项和应用错位相减法； ③裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法； ④分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法； ⑤倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 4．裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： ①；② ； ③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误． 5．数列求和的方法技巧 ①倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． ②错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． ③分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 1．已知数列中，，成等差数列． （1）求的值和的通项公式； （2）设，求数列的前项和为． 【试题来源】安徽省淮北市2022届高三上学期一模 【答案】（1），（2）， 【分析】（1）由等差数列的性质可得，化简再分奇偶讨论即可求解； （2）化简得，再结合错位相减法即可求解 【解析】（1）因为，，成等差数列 即，得 因为，所以，从而 所以 （2）由（1）得， 所以 两式相减，得 所以，． 2．设等比数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，是否存在正整数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【试题来源】江西省名校2022届高三上学期期末联考 【答案】（1），（2）存在， 【分析】（1）由满足这两个条件建立等式解出首项和公比，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）得，由，得，然后解方程即可． 【解析】（1）设公比为q，由，得，解得． 由，得， 结合，解得， 所以数列的通项公式为． （2）由（1），得， 则是以1为首项，2为公差的等差数列， 由，得， 整理，得，解得或（舍去） 故存在，使得． 3．已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝17，a1，a2，a7成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）将数列{an}与{3n}的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn． 【试题来源】江苏省南通市海门区2021-2022学年高三上学期期末 【答案】（1）an＝4n－3，（2） 【分析】（1）由及成等差数列建立等式求解即可； （2）根据条件求出数列，再求和即可． 【解析】（1）设等差数列的公差为d，d≠0， 由条件得 解之得 所以数列的通项公式为an＝4n－3． （2）设4n－3＝3m， 则n＝＝＝， 当m＝2k，k∈N*时，(－1)m＋3＝4，所以N*， 当m＝2k－1，k∈N*时，(－1)m＋3＝2，所以N*， 所以， 所以． 4．已知等差数列与正项等比数列满足，且． （1）求数列和数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【试题来源】安徽省蚌埠市2021-2022学年高三上学期第二次教学质量检查 【答案】（1），，（2） 【分析】（1）根据条件回到基本量计算，然后由等差、等比数列的通项公式写出结果； （2）根据结构分成裂项相消求和与用等比数列的前项和求和． 【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为， 由题意得， 解得，，所以，． （2）因为 ， 所以 故． 5．已知数列的前项和为，2，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【试题来源】安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测 【答案】（1），（2） 【分析】（1）根据等差数列的性质可得，结合，可得，故数列为等比数列，利用等比数列的通项公式得出； （2）由（1）得，利用错位相减法即可得出结果． 【解析】（1）因为2，，成等差数列，所以． 当时，； 当，且时，，， 两式相减得，，即． 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，． （2）因为， 所以，① 所以，② ①-②：， 所以． 6．已知数列满足，． （1）记，求证：数列为等比数列； （2）求的前项和． 【试题来源】安