4.2.3 对数函数的性质与图像-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

4.2.3　对数函数的性质与图像 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解对数函数的概念、图像及性质．(重点) 2．根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(易混点) 3．初步掌握对数函数的图像和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(难点) 1．通过对数函数定义的学习，培养数学抽象素养． 2．借助对数函数的图像与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养. 中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有8 000万至1亿年历史的黄河巨龙的肋骨．经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”． 同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！ 问题1：考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝P(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t，那么t是P的函数吗？为什么？ [提示]　t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：t＝P，都有唯一的t值与之相对应，故t是P的函数． 问题2：函数t＝P的解析式与函数y＝log2x的解析式有什么共同特征？ [提示]　两个函数都是对数的真数作为函数的自变量． 1．对数函数的定义 一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1. 2．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的性质与图像 定义 y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0) 图像 a＞1 0＜a＜1 性 质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 过定点 图像过点(1,0)，即loga1＝0 函数值 特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝x的图像关于x轴对称 思考：函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置有何影响？ [提示]　观察图像，总结变化规律： (1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图像越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴． (2)左右比较(比较图像与y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝logx是对数函数．(　　) (2)函数y＝2log3x是对数函数．(　　) (3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)．(　　) (1)×　(2)×　(3)×　[(1)对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以(1)错； (2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，所以(2)错； (3)由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错．] 2．函数y＝x＋a与函数y＝logax的图像可能是(　　) 　　　 A　　　　B　　　　C　　　　D C　[因为a为对数函数y＝logax的底数，所以a>0且a≠1.同时a为直线y＝x＋a在y轴上的截距，所以排除A、D.当a>1时，y＝logax为增函数，y＝x＋a在y轴上的截距大于1，所以排除B.] 3．函数f(x)＝－lg(1－x)的定义域为(　　) A．[－2,1]　　　　　　 B．[－2,1) C．(－2,1) D．[－2，＋∞) B　[由题意得⇒－2≤x＜1.] 4．函数y＝log(3a－1)x是(0，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________． 　[由题意可得0<3a－1<1， 解得<a<，所以实数a的取值范围是.] 对数函数概念及其应用 【例1】　(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0且a≠1)；③y＝log(－1)x；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝. 其中是对数函数的为(　　) A．③④⑤　　　　　　 B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥ (2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________. (1)D　(2)4　[(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④中log3x前的系数不是1，所以不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确． (2)由于y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则有解得