4.2.2 对数运算法则-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

4.2.2　对数运算法则 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解对数的运算法则．(重点) 2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3．会运用运算法则进行一些简单的化简与证明．(易错点、重点) 1．通过对数运算法则的学习，培养数学运算核心素养． 2．通过对数换底公式的学习，提升逻辑推理素养. 大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则中，得出相应对数的运算法则吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算法则呢？ 问题：观察下列各式，你能从中猜想出什么结论吗？ log2(2×4)＝log22＋log24＝3； log3(3×9)＝log33＋log39＝3； log2(4×8)＝log24＋log28＝5. [提示]　如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：loga(M·N)＝logaM＋logaN成立． 1．对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni＞0，i＝1,2，…，k)． (2)logaMα＝αlogaM. (3)loga＝logaM－logaN. [拓展]　(1)熟练掌握对数运算法则的逆向应用．逆向应用对数运算法则，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简． (2)对于上面的每一个运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立． 2．换底公式 logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)． 特别地：logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1)． 思考：如何准确地应用换底公式？ [提示]　(1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择． (2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题． 如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个底数的对数，再根据运算法则进行化简与求值． (3)要注意换底公式的两个重要推论的应用． ①logab＝；②logambn＝logab，其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　) (2)logaxy＝logax·logay.(　　) (3)loga(－2)3＝3loga(－2)．(　　) (1)√　(2)×　(3)×　[(1)根据对数的运算法则可知(1)正确； (2)根据对数的运算法则可知logaxy＝logax＋logay； (3)公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数．] 2．下列结论正确的是(　　) A．loga(x－y)＝logax－logay B．＝logax－logay C．loga＝logax－logay D．loga＝ C　[由对数的运算法则，知A，B，D错误，C正确．] 3．若2a＝3b(ab≠0)，则log32＝(　　) A.　　　B.　　　C.ab　　　D. A　[2a＝3b⇒alg 2＝blg 3，所以log32＝＝.] 4．若3a＝2，则2log36－log38＝________. 2－a　[∵3a＝2，∴a＝log32，∴2log36－log38＝2(log32＋log33)－3log32＝－log32＋2＝2－a.] 利用对数的运算法则求值 【例1】　(1)计算8＋2lg 2－lg 的值为________． (2)计算：log3＋lg 4＋lg 25＋0＝________. (3)计算： ①lg； ②log2(47×25)； ③(lg 2)2＋lg 20×lg 5. (1)　(2)　[(1)原式＝(23)＋lg 4－(lg 1－lg 25)＝＋lg(4×25)＝＋2＝. (2)原式＝＋lg 102＋1＝＋2＋1＝.] (3)[解]　①lg＝lg 102＝lg 10＝. ②log2(47×25)＝log247＋log225 ＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19. ③(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)(1－lg 2) ＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＝1. 利用对数运算法则求值的方法 (1)利用对数运算法则求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． (2)对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数． 提醒：对数式的求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．