课时分层作业14 余弦定理、正弦定理应用举例-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(十四)　余弦定理、正弦定理应用举例 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　) A．12 m　　　　 B．8 m C．3 m D．4 m D　[由题意知，∠A＝∠B＝30°， 所以∠C＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，＝， 即AB＝＝＝4m.] 2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　) A． n mile/h B．34 n mile/h C． n mile/h D．34 n mile/h A　[如图所示，在△PMN中，＝， ∴MN＝＝34， ∴v＝＝ n mile/h.] 3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为(　　) A．28海里/时　 B．14海里/时 C．14海里/时 D．20海里/时 B　[如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在△ABC中，AC＝10×2＝20 海里， AB＝12海里，∠BAC＝120°， ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120° ＝784， ∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．] 4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为(　　) A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m C　[如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，则BD＝40，OD＝20. 在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．] 5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　　) A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m D　[设建筑物的高度为h m，由题图知， PA＝2h，PB＝h，PC＝h， ∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理， 得cos∠PBA＝， ① cos∠PBC＝. ② ∵∠PBA＋∠PBC＝180°， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m．] 二、填空题 6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米． 　[如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1， ∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°. 在△ABC中，＝， ∴AC＝＝＝(千米)．] 7．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________ km. 　[在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝＝(km)．] 8．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点________ dm的C处截住足球． 7　[设机器人最快可在点C处截住足球， 点C在线段AD上，设BC＝x dm， 由题意知CD＝2x dm， AC＝AD－CD＝(17－2x) dm. 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC 2－2AB·AC·cos A， 即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45°， 解得x1＝5，x2＝. ∴AC＝17－2x＝7(dm)或AC＝－(dm)(舍去)． ∴该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球．] 三、解答题 9．在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离． [解]　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°， 又∵∠ACD＝60°， ∴∠DAC＝60°. ∴AD＝CD＝a. 在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理有＝， ∴BD＝CD·＝a·＝a， 在△ADB中， ∵AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝a2＋2－2×a×a×