课时分层作业7 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(七)　平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　) A．2i＋3j　　　　　　 B．4i＋2j C．2i－j D．－2i＋j C　[记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.] 2．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝(　　) A．(－2，－2) B．(2,2) C．(1,1) D．(－1，－1) A　[＝－＝(－2，－2)．故选A．] 3．已知＝(－2,4)，则下列说法正确的是(　　) A．A点的坐标是(－2,4) B．B点的坐标是(－2,4) C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4) D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4) D　[当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐标相同．] 4．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　) A．第一、二象限　　　 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[x2＋x＋1＝＋＞0， x2－x＋1＝＋＞0， 所以向量a对应的坐标位于第四象限．] 5．已知ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(　　) A．(－7,0) B．(7,6) C．(6,7) D．(7，－6) D　[因为四边形ABCD为平行四边形， 所以＝. 设D(x，y)，则有(－1－5,7＋1)＝(1－x,2－y)， 即 解得 因此D点坐标为(7，－6)．] 二、填空题 6．如图，在▱ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________. (－3，－5)　[＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)， ＝＋＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．] 7．已知点A(3，－4)与B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝||，则点P的坐标为________． (1，－1)　[设P点坐标为(x，y)，||＝||. 当P在线段AB上时，＝. ∴(x－3，y＋4)＝(－1－x,2－y)， ∴ 解得 ∴P点坐标为(1，－1)． 当P在线段AB延长线上时，＝－. ∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x,2－y)， ∴ 此时无解． 综上所述，点P的坐标为(1，－1)．] 8．作用于原点的两个力F1＝(1,1)，F2＝(2,3)，为使它们平衡，需加力F3＝________. (－3，－4)　[因为F1＋F2＋F3＝0， 所以F3＝－F1－F2＝－(1,1)－(2,3) ＝(－3，－4)．] 三、解答题 9．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标． [解]　由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴， 因为AB＝4，AD＝3， 所以＝4i＋3j， 所以＝(4,3)． 又＝＋＝－＋， 所以＝－4i＋3j， 所以＝(－4,3)． 10．已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点． [解]　设点D的坐标为(x，y)， (1)当平行四边形为ABCD时，＝， ∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)， ∴ ∴ ∴D(0，－1)． (2)当平行四边形为ABDC时，同(1)可得D(2，－3)． (3)当平行四边形为ADBC时，同(1)可得D(6,15)． 综上可见点D可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)． 11．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m⊗n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a⊗b，那么向量b等于(　　) A． B． C． D． A　[设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a⊗b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝.] 12．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． C　[如图所示，因为∠AOC＝45°， 所以设C(x，－x)， 则＝(x，－x)． 又因为A(－3,0)，B(0,2)， 所以λ＋(1－λ) ＝(－3λ，2－2λ)， 所以⇒λ＝.] 13．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________． (－，1)　[设＝(x，y)， ∴x＝||cos 150°＝2×＝－， y＝||sin 150°＝2×＝